Calcule a integral de superfície
\iint_{\sigma} x+y d S
onde \sigma é a porcão do plano z=6-2 x-3 y no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{\sigma}(x+y)\,dS
onde \sigma é a parte do plano z=6-2x-3y no primeiro octante.
Conteúdo: integração de função escalar sobre superfície dada como gráfico z=f(x,y), usando
dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.

Passo 2

Escrevemos \sigma como o gráfico de
f(x,y)=6-2x-3y
sobre a região D\subset\mathbb{R}^2 definida por
x\ge0,\quad y\ge0,\quad 6-2x-3y\ge0,
isto é
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;2x+3y\le6\}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
f_x=-2,\quad f_y=-3,
logo
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} =\sqrt{1+4+9} =\sqrt{14}.
Portanto
\iint_{\sigma}(x+y)\,dS =\sqrt{14}\iint_{D}(x+y)\,dA.

Passo 4

Para descrever D em coordenadas cartesianas, isolamos y:
2x+3y\le6\\ \Longrightarrow\\ y\le\frac{6-2x}{3},
com 0\le x\le3. Assim
\iint_{D}(x+y)\,dA =\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{\frac{6-2x}{3}}(x+y)\,dy\,dx.

Passo 5

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{\frac{6-2x}{3}}(x+y)\,dy =\Bigl[x\,y+\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{\frac{6-2x}{3}} =2+\tfrac{2}{3}x-\tfrac{4}{9}x^2.
Logo
\iint_{D}(x+y)\,dA =\int_{0}^{3}\Bigl(2+\tfrac{2}{3}x-\tfrac{4}{9}x^2\Bigr)dx.

Passo 6

Integramos em x:
\int_{0}^{3}2\,dx=6,\quad \int_{0}^{3}\tfrac{2}{3}x\,dx=3,\quad \int_{0}^{3}\tfrac{4}{9}x^2\,dx=4,
portanto
\iint_{D}(x+y)\,dA=6+3-4=5.
Multiplicando pelo fator \sqrt{14}, obtemos
\iint_{\sigma}(x+y)\,dS =5\sqrt{14}.

Resposta

5\sqrt{14}

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