Questão 2 (2 pontos) Uma escada de 10 m está encostada em uma parede. Suponha que ela começe a escorregar de tal maneira que no instante que seu pé se encontra a 6 m da parede ela desce à velocidade de 3 m / s. Com qual velocidade seu pé se afasta da parede neste instante?
l l^2=b y^2+x^2 Rightarrow x=raizl^2-y^2 d xd t=-3 y d y / d traizl^2-y^2=-yx d yd t
--x--1
l l=10 m x=6 m d yd t=-2 m / s Rightarrowl y=8 m d xd t=-86 times(-2) Rightarrow d xd t=83 m / s

Passo 1

O enunciado descreve uma escada rígida de comprimento fixo l=10 m, apoiada numa parede, cuja base está a uma distância x da parede e o topo a uma altura y. Ela escorrega de modo que o topo desce com rapidez constante de 3 m/s. Queremos achar a rapidez dfracdxdt com que o pé se afasta da parede quando x=6 m.

Passo 2

Como a escada é rígida, as distâncias satisfazem o teorema de Pitágoras:
x^2 + y^2 = l^2
Nesse instante em que x=6 m, determinamos y por
y = raizl^2 - x^2 = raiz10^2 - 6^2 = raiz100 - 36 = 8 m

Passo 3

Para relacionar as velocidades, derivamos implicitamente a equação x^2 + y^2 = l^2 em relação ao tempo t:
2x,dxdt + 2y,dydt = 0 Longrightarrow x,dxdt + y,dydt = 0
e isolamos dfracdxdt:
dxdt = -yx,dydt

Passo 4

No instante considerado temos
x = 6 m, y = 8 m, dydt = -3 m/s
(o sinal negativo porque y está diminuindo). Substituindo em
dfracdxdt = -dfracyx,dfracdydt, obtemos
dxdt = -86times(-3) = 86times3 = 4 m/s

Resposta

A base da escada afasta-se da parede com velocidade de 4 m/s.

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