Calcule o trabalho da força
F(x, y, z)=(y e^z+z, x e^z-23, x y e^z+x)
realizado para mover um objeto ao longo da curva C obtida pela interseção da parte da superfície y=x^2-1 onde y <= 0 com o plano x+z=1 orientada no sentido do decrescimento de z

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força
F(x,y,z)=l(y e^z+z,;x e^z-tfrac23,;x y e^z+xr)
ao longo de C, interseção de y=x^2-1 (com y<=0) e o plano x+z=1. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, e vamos parametrizar C, calcular Fcdot dr e integrar.

Passo 2

Parametrizamos C por x=t. Então
y=t^2-1, z=1-t,
e a condição y<=0 -1<= t<=1. A orientação é decrescimento de z; como z=1-t, dz/dt=-1<0 para dt>0, basta t de -1 até 1. Logo
r(t)=l(t,;t^2-1,;1-tr), tin[-1,1]

Passo 3

Calculamos
dr=(1,;2t,;-1),dt
e
F(r(t)) =l((t^2-1)e^1-t+(1-t),;t e^1-t-tfrac23,;t(t^2-1)e^1-t+tr)
O integrando é
Fcdot dr =l((t^2-1)e^1-t+(1-t)r)cdot1 +l(t e^1-t-tfrac23r)cdot2t +l(t(t^2-1)e^1-t+tr)cdot(-1)

Passo 4

Ao agrupar termos, obtemos para o integrando
(-t^3+3t^2+t-1)e^1-t+1-tfrac103t
Assim o trabalho é
integralCFcdot dr =integral-1^1l[(-t^3+3t^2+t-1)e^1-t+1-tfrac103tr],dt

Passo 5

Separamos em
I1=integral-1^1(-t^3+3t^2+t-1)e^1-t,dt, I2=integral-1^1l(1-tfrac103tr),dt
É imediato que
I2=l[t-tfrac106t^2r]-1^1 = (1-tfrac106)-(-1-tfrac106)=2

Passo 6

Para
I1=integral-1^1P(t)e^1-t,dt, P(t)=-t^3+3t^2+t-1,
fazemos a mudança u=1-t, que leva t=-1mapsto u=2 e t=1mapsto u=0. Com isso
I1 =integral0^2l(u^3-4u+2r)e^u,du
Calculando por partes individuais, chega-se a
integral0^2u^3e^udu=2e^2+6, integral0^2(-4u)e^udu=-4e^2-4, integral0^22e^udu=2e^2-2,
de modo que I1=(2e^2+6)+(-4e^2-4)+(2e^2-2)=0.

Passo 7

Somando I1+I2=0+2, concluímos que o trabalho é
2

Resposta

O trabalho realizado ao longo de C é 2.

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