Use a Regra de L’Hospital para calcular os limites a seguir:
b)
Mostre todo o processo de resolução, aplicando a regra corretamente.
b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
da função
Resumo do que foi dado:
- A expressão cuja fronteira precisamos achar é
. - O ponto de interesse é
. - A única pergunta: calcular esse limite.
Passo 2
Vamos primeiro verificar o comportamento das partes (isso é importante para saber que técnica podemos usar). Quando
:
- o numerador
tende a ; - o denominador
tende a porque e .
Como numerador e denominador tendem ambos a
, a expressão tem a forma indeterminada
. Formas indeterminadas exigem um passo extra para decidir o limite — não dá para simplesmente afirmar que o quociente tende a 1 ou a outro valor sem analisar.
Passo 3
Vou usar a Regra de L’Hospital. Vou enunciar a versão que preciso aplicar (de forma direta e prática):
Se
e
são funções diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em pontos isolados) e
(então temos a forma
), e se existir
(ou este limite for
ou
), então
Condição técnica adicional:
suficientemente perto do infinito para que a razão faça sentido.
Essa regra funciona porque, grosso modo, para grandes
o comportamento das funções é bem aproximado pelas suas taxas de variação (suas derivadas).
Passo 4
Identifico
e
.
- Ambas são diferenciáveis para
. - Como já verifiquei,
e quando .
Portanto as hipóteses para aplicar L’Hospital estão satisfeitas.
Passo 5
Calculo as derivadas (aqui uma mini-aula de derivadas rápidas):
- A derivada de
em relação a é . Isto vem da regra: derivada de é . - A derivada de
é . Aqui usei a soma de derivadas, a derivada de é e a derivada de é .
Portanto
Passo 6
Pela Regra de L’Hospital podemos substituir o limite original pelo limite das derivadas:
Agora avalio o limite à direita. Quando
tem-se
, logo
Passo 7
(Facultativo — verificação por outro método simples) Uma verificação que pode ser feita sem L’Hospital: dividir numerador e denominador por
:
Como
quando
(por exemplo aplicando L’Hospital a
uma vez ou lembrando que
cresce muito mais rápido que
), obtém-se novamente
. Isso confirma o resultado obtido.