Use a Regra de L’Hospital para calcular os limites a seguir:
b) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4 x}{2 x+\ln (x)}
Mostre todo o processo de resolução, aplicando a regra corretamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x \rightarrow +\infty da função
\frac{4x}{2x+\ln(x)}.
Resumo do que foi dado:
  • A expressão cuja fronteira precisamos achar é \dfrac{4x}{2x+\ln(x)}.
  • O ponto de interesse é x\to+\infty.
  • A única pergunta: calcular esse limite.

Passo 2

Vamos primeiro verificar o comportamento das partes (isso é importante para saber que técnica podemos usar). Quando x\to+\infty:
  • o numerador 4x tende a +\infty;
  • o denominador 2x+\ln(x) tende a +\infty porque 2x\to+\infty e \ln(x)\to+\infty.
Como numerador e denominador tendem ambos a +\infty, a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{+\infty}{+\infty}. Formas indeterminadas exigem um passo extra para decidir o limite — não dá para simplesmente afirmar que o quociente tende a 1 ou a outro valor sem analisar.

Passo 3

Vou usar a Regra de L’Hospital. Vou enunciar a versão que preciso aplicar (de forma direta e prática):
Se f e g são funções diferenciáveis numa vizinhança de +\infty (exceto possivelmente em pontos isolados) e
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty
(então temos a forma \dfrac{+\infty}{+\infty}), e se existir
\lim_{x\to+\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}
(ou este limite for +\infty ou -\infty), então
\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to+\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Condição técnica adicional: g'(x)\neq 0 suficientemente perto do infinito para que a razão faça sentido.
Essa regra funciona porque, grosso modo, para grandes x o comportamento das funções é bem aproximado pelas suas taxas de variação (suas derivadas).

Passo 4

Identifico f(x)=4x e g(x)=2x+\ln(x).
  • Ambas são diferenciáveis para x>0.
  • Como já verifiquei, f(x)\to+\infty e g(x)\to+\infty quando x\to+\infty.
    Portanto as hipóteses para aplicar L’Hospital estão satisfeitas.

Passo 5

Calculo as derivadas (aqui uma mini-aula de derivadas rápidas):
  • A derivada de 4x em relação a x é 4. Isto vem da regra: derivada de ax é a.
  • A derivada de 2x+\ln(x) é 2+\dfrac{1}{x}. Aqui usei a soma de derivadas, a derivada de 2x é 2 e a derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x}.
Portanto
f'(x)=4,\qquad g'(x)=2+\frac{1}{x}.

Passo 6

Pela Regra de L’Hospital podemos substituir o limite original pelo limite das derivadas:
\lim_{x\to+\infty} \frac{4x}{2x+\ln(x)} = \lim_{x\to+\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to+\infty} \frac{4}{2+\dfrac{1}{x}}.
Agora avalio o limite à direita. Quando x\to+\infty tem-se \dfrac{1}{x}\to 0, logo
\lim_{x\to+\infty} \frac{4}{2+\dfrac{1}{x}} = \frac{4}{2+0} = \frac{4}{2} = 2.

Passo 7

(Facultativo — verificação por outro método simples) Uma verificação que pode ser feita sem L’Hospital: dividir numerador e denominador por x:
\frac{4x}{2x+\ln(x)} = \frac{4}{2+\dfrac{\ln(x)}{x}}.
Como \dfrac{\ln(x)}{x}\to 0 quando x\to+\infty (por exemplo aplicando L’Hospital a \dfrac{\ln(x)}{x} uma vez ou lembrando que x cresce muito mais rápido que \ln(x)), obtém-se novamente \dfrac{4}{2+0}=2. Isso confirma o resultado obtido.

Resposta

2

Exercícios relacionados