Questão 5 (2,0 pontos)
Faça o Mapa de Contorno (Curvas de Nível) da função:
f(x, y)=ln (x^2+4 y^2), k=-1,0,1

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
f(x,y)=lnl(x^2+4y^2r)
para os valores de nível k=-1, k=0 e k=1.
Vamos usar a definição de curva de nível, que consiste em igualar f(x,y) a cada k.

Passo 2

Igualando f(x,y) a um nível genérico k temos
lnl(x^2+4y^2r)=k
Tomando exponencial em ambos os lados resulta
x^2+4y^2=e^k,
que é a equação de uma família de elipses.

Passo 3

Escrevendo em forma padrão de elipse:
x^2e^k+y^2e^k/4=1
Dessa forma, o semi-eixo maior ao longo de x é
a=raize^k
e o semi-eixo menor ao longo de y é
b=raize^k2

Passo 4

Agora, para cada valor de k:
Para k=-1:
x^2+4y^2=e^-1, a=e^-1/2,;b=e^-1/22
Para k=0:
x^2+4y^2=1, a=1,;b=tfrac12
Para k=1:
x^2+4y^2=e, a=raiz e,;b=raiz e2

Resposta

As curvas de nível são elipses centradas na origem dadas por
x^2+4y^2=e^-1(k=-1),
x^2+4y^2=1(k=0),
x^2+4y^2=e(k=1)

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