Verificar se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo aqui é séries numéricas: para convergência absoluta usamos o teste da razão em , e para checar convergência simples usamos a condição necessária .
Passo 2
Analisamos a convergência absoluta estudando
Aplicando o teste da razão, seja
L =limntoinfty (n+1)!2^(n+1)+1n!2^n+1 =limntoinfty(n+1)!2^n+2cdot2^n+1n! =limntoinftyn+12 =infty
Como L>1, a série de termos positivos diverge, logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Para examinar a convergência simples (ou condicional), verificamos o termo geral:
an = (-1)^n-1,n!2^n+1
Note que
l|anr|=n!2^n+1toinftyquando ntoinfty,
então an não tende a zero. Pela condição necessária para convergência de séries, se limntoinftyanneq0 a série diverge.
Resposta
A série diverge (nem absolutamente nem condicionalmente convergente).