Verificar se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta
sumn=1^infty(-1)^n-1 n!2^n+1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n-1,n!2^n+1
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo aqui é séries numéricas: para convergência absoluta usamos o teste da razão em sum |an|, e para checar convergência simples usamos a condição necessária limntoinftyan=0.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta estudando
sumn=1^inftygl|(-1)^n-1n!2^n+1gr| =sumn=1^inftyn!2^n+1
Aplicando o teste da razão, seja
L =limntoinfty (n+1)!2^(n+1)+1n!2^n+1 =limntoinfty(n+1)!2^n+2cdot2^n+1n! =limntoinftyn+12 =infty
Como L>1, a série de termos positivos diverge, logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para examinar a convergência simples (ou condicional), verificamos o termo geral:
an = (-1)^n-1,n!2^n+1
Note que
l|anr|=n!2^n+1toinftyquando ntoinfty,
então an não tende a zero. Pela condição necessária para convergência de séries, se limntoinftyanneq0 a série diverge.

Resposta

A série diverge (nem absolutamente nem condicionalmente convergente).

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