Questão (6 pontos)
A força propulsora
de um propulsor de uma aeronave é função do diâmetro (D) do propulsor, da massa específica (
) do ar, da viscosidade dinâmica (
) do ar e da velocidade ( V ) da aeronave. Utilizando o teorema PI, expresse estas variáveis em forma adimensional. Observação: Usar
, V e D como parâmetros repetentes.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é usar o Teorema π de Buckingham pra transformar as variáveis que influenciam a força propulsora F (em N) numa forma adimensional. O enunciado diz que F depende de:
- D = diâmetro do propulsor (L)
- ρ = massa específica do ar (M L⁻³)
- μ = viscosidade dinâmica do ar (M L⁻¹ T⁻¹)
- V = velocidade da aeronave (L T⁻¹)
Conteúdo: análise dimensional e Teorema π. Vamos precisar saber as dimensões de cada variável e escolher as variáveis repetentes (ρ, V e D). Depois formamos grupos π que fiquem sem dimensão.
Passo 2
Definindo as dimensões:
Como temos 5 variáveis e 3 repetentes (ρ, V, D), o teorema π nos diz que teremos
Passo 3
Formando
com
:
Plugando dimensões:
Isso gera o sistema:
-
→ -
→ → -
→
Com
em 2):
→
.
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Passo 4
Formando
com
:
Dimensionalmente:
O sistema fica:
-
→ -
→ → -
→
Com
em 2):
→
.
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Resposta
As duas grandezas adimensionais são:
$$\pi_1 = \frac{F}{\rho,V2,D2},\qquad
\pi_2 = \frac{\mu}{\rho,V,D}.$$
Em outras palavras, a relação geral fica
onde