2^ a Questão (6 pontos)

A força propulsora F(N) de um propulsor de uma aeronave é função do diâmetro (D) do propulsor, da massa específica ( rho ) do ar, da viscosidade dinâmica ( mu ) do ar e da velocidade ( V ) da aeronave. Utilizando o teorema PI, expresse estas variáveis em forma adimensional. Observação: Usar rho, V e D como parâmetros repetentes.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é usar o Teorema π de Buckingham pra transformar as variáveis que influenciam a força propulsora F (em N) numa forma adimensional. O enunciado diz que F depende de:
  • D = diâmetro do propulsor (L)
  • ρ = massa específica do ar (M L⁻³)
  • μ = viscosidade dinâmica do ar (M L⁻¹ T⁻¹)
  • V = velocidade da aeronave (L T⁻¹)
Conteúdo: análise dimensional e Teorema π. Vamos precisar saber as dimensões de cada variável e escolher as variáveis repetentes (ρ, V e D). Depois formamos grupos π que fiquem sem dimensão.

Passo 2

Definindo as dimensões:
[F]=M,L,T^-2, [rho]=M,L^-3, [V]=L,T^-1, [D]=L, [mu]=M,L^-1,T^-1
Como temos 5 variáveis e 3 repetentes (ρ, V, D), o teorema π nos diz que teremos grupos adimensionais ( e ). A gente monta cada multiplicando uma variável não repetente (F ou μ) pelas repetentes elevadas a expoentes a, b, c e exige que o resultado seja adimensional.

Passo 3

Formando pi1 = F;rho^a,V^b,D^c com [,pi1,]=M^1+a;L^1-3a+b+c;T^-2-b stackrel!!=M^0L^0T^0:
pi1 = F,rho^-1,V^-2,D^-2 = Frho,V^2,D^2
Plugando dimensões:
Isso gera o sistema:
Com em 2): .
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Passo 4

Formando pi2 = mu;rho^a,V^b,D^c com [,pi2,]=M^1+a;L^-1-3a+b+c;T^-1-bstackrel!!=M^0L^0T^0:
pi2 = mu,rho^-1,V^-1,D^-1 = murho,V,D
Dimensionalmente:
O sistema fica:
Com em 2): .
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Resposta

As duas grandezas adimensionais são:
$$\pi_1 = \frac{F}{\rho,V2,D2},\qquad
\pi_2 = \frac{\mu}{\rho,V,D}.$$
Em outras palavras, a relação geral fica
pi1 = Frho,V^2,D^2, pi2 = murho,V,D
onde Frho,V^2,D^2 ;=;Phi!l(murho,V,Dr), é uma função adimensional qualquer.

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