4^ a Questão (6 pontos)

Um gradiente de pressão de -20 Pa / m existe em um escoamento de ar a 50^circ C(mu=1,95 times 10^-5 Pa s) entre duas placas paralelas, horizontais, distantes 6 mm entre si. O perfil de velocidade é expresso como u(y)=12 mu d pd x(y^2-a y)+Ua y, em que a representa a distância entre as placas e y a distância vertical medida a partir da face superior da placa inferior. Determine a velocidade da placa superior de modo que:
(a) A tensão de cisalhamento na placa superior seja nula

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão diz: temos um escoamento de ar entre duas placas paralelas, separadas por u(y) = 12mu,dpdxl(y^2 - a,yr) + Ua,y, . Há um gradiente de pressão e a viscosidade do ar é . O perfil de velocidade no canal é
onde é a velocidade da placa superior. A questão (parte a) quer saber: para qual valor de a tensão de cisalhamento na placa superior (em ) fica zero?
Conteúdo: mecânica dos fluidos – escoamento de Couette-Poiseuille. Vamos precisar da definição de tensão de cisalhamento .

Passo 2

Teoria envolvida: a tensão de cisalhamento num ponto do fluido é
tau(y) ;=;mu,dudy
Para a placa superior em dudy|y=a = 0 , queremos , ou seja

Passo 3

Vamos derivar u(y) = 12mu,dpdx,(y^2 - a,y) + Ua,y Longrightarrow dudy = 12mu,dpdx,(2y - a) + Ua em relação a 12mu,dpdx,(2a - a) + Ua = 0 ;;Longrightarrow;; 12mu,dpdx,a + Ua = 0 :
Agora impondo :

Passo 4

Isolando Ua = -,12mu,dpdx,a ;Longrightarrow; U = -,a^22mu,dpdx :
a = 6;mm = 0,006;m, dpdx = -20;Pa/m, mu = 1,95times10^-5;Pacdots
Agora é só substituir os valores (em SI):
U = -,(0,006)^22times1,95times10^-5;(-20) = 3,6times10^-53,9times10^-5times20 approx 0,9231times20 approx 18,46;m/s
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Resposta

de modo que a tensão de cisalhamento na placa superior seja nula.

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