Questão (6 pontos)
Uma queda de pressão de 200 kPa não deve ser excedida em um tubo horizontal de 4 cm de diâmetro e 100 metros de comprimento. Estime a vazão máxima de água considerando que o tubo é feito de ferro fundido com rugosidade de
. Considere para água
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um tubo horizontal de ferro fundido (rugosidade e = 0,26 mm, diâmetro D = 4 cm, comprimento L = 100 m) e que a queda de pressão ao longo dele não pode passar de Δp = 200 kPa.
Conteúdo: escoamento interno, Bernoulli com perda de carga, fórmula de Darcy–Weisbach e fator de atrito via equação de Colebrook.
O que precisamos:
Conteúdo: escoamento interno, Bernoulli com perda de carga, fórmula de Darcy–Weisbach e fator de atrito via equação de Colebrook.
O que precisamos:
- Converter Δp em altura de carga Hf (usando Δp = ρg Hf).
- Usar Darcy–Weisbach: Hf = f·(L/D)·(V²/(2g)).
- Estimar f pela equação implícita de Colebrook (iterações).
- Calcular V e depois Q = V·A.
Passo 2
Primeiro, convertemos a queda de pressão em “metros de coluna de água”:
Como o tubo é horizontal e não temos perdas localizadas (Hlm = 0), aplicamos só a Darcy–Weisbach:
Isolando V:
Passo 3
Para usar essa expressão precisamos saber o fator de atrito f, que para fluxo turbulento em conduto áspero obedece à equação de Colebrook:
e o número de Reynolds é
Vamos iterar:
- Chute inicial: f₀ = 0{,}02.
- Calcular V₀ usando a fórmula de V.
- Calcular Re₀ e atualizar f pela Colebrook.
- Repetir até convergir.
Passo 4
Chute f₀ = 0{,}02 →
V₀ = √[2·9,81·20,41·0,04/(0,02·100)] ≈ 2,83 m/s
Re₀ = 998·2,83·0,04/0,001 ≈ 1,13×10^5
V₀ = √[2·9,81·20,41·0,04/(0,02·100)] ≈ 2,83 m/s
Re₀ = 998·2,83·0,04/0,001 ≈ 1,13×10^5
Colebrook dá:
e/D = 0,00026/0,04 = 0,0065
e/D = 0,00026/0,04 = 0,0065
logo f₁ = (1/5,508)² ≈ 0,033.
Passo 5
Com f₁ = 0,033:
V₁ = √[2·9,81·20,41·0,04/(0,033·100)] ≈ 2,20 m/s
Re₁ = 998·2,20·0,04/0,001 ≈ 8,8×10^4
V₁ = √[2·9,81·20,41·0,04/(0,033·100)] ≈ 2,20 m/s
Re₁ = 998·2,20·0,04/0,001 ≈ 8,8×10^4
Se fizermos outra iteração em Colebrook, voltamos a f ≃ 0,033 (já está convergido).
Passo 6
Agora calculamos a vazão Q:
Área A = π·D²/4 = π·(0,04)²/4 ≈ 1,2566×10⁻³ m²
Área A = π·D²/4 = π·(0,04)²/4 ≈ 1,2566×10⁻³ m²
Resposta
A vazão máxima estimada é cerca de 2,77×10⁻³ m³/s (≈ 2,77 L/s).