5^ a Questão (6 pontos)

Uma queda de pressão de 200 kPa não deve ser excedida em um tubo horizontal de 4 cm de diâmetro e 100 metros de comprimento. Estime a vazão máxima de água considerando que o tubo é feito de ferro fundido com rugosidade de 0,26 mm. Considere para água rho=998 kg / m^3 e mu=0,001 N s / m^2.
& P1rho g+V1^22 g+z1=P2rho g+V2^22 g+z2+Hf+Hl m Hf=f LD V^22 g Hl m=K V^22 g & 1raizf=-2,0 log (e / D3,7+2,51R e raizf) f laminar =64R e 1raizf=-1,8 log [(e / D3,7)^1,11+6,9R e] & R e=rho V Lcmu CD=F12 rho V^2 A F r=Vraizg L W e=rho V^2 Lsigma E u=De

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um tubo horizontal de ferro fundido (rugosidade e = 0,26 mm, diâmetro D = 4 cm, comprimento L = 100 m) e que a queda de pressão ao longo dele não pode passar de Δp = 200 kPa.
Conteúdo: escoamento interno, Bernoulli com perda de carga, fórmula de Darcy–Weisbach e fator de atrito via equação de Colebrook.
O que precisamos:
  1. Converter Δp em altura de carga Hf (usando Δp = ρg Hf).
  2. Usar Darcy–Weisbach: Hf = f·(L/D)·(V²/(2g)).
  3. Estimar f pela equação implícita de Colebrook (iterações).
  4. Calcular V e depois Q = V·A.

Passo 2

Primeiro, convertemos a queda de pressão em “metros de coluna de água”:
Hf = De
Como o tubo é horizontal e não temos perdas localizadas (Hlm = 0), aplicamos só a Darcy–Weisbach:
Hf = f,LD,V^22g
Isolando V:
V = raiz2g,Hf,Df,L

Passo 3

Para usar essa expressão precisamos saber o fator de atrito f, que para fluxo turbulento em conduto áspero obedece à equação de Colebrook:
1raizf = -2,0 log10!l(e/D3,7 + 2,51Re,raizfr)
e o número de Reynolds é
Re = rho,V,Dmu
Vamos iterar:
  1. Chute inicial: f₀ = 0{,}02.
  2. Calcular V₀ usando a fórmula de V.
  3. Calcular Re₀ e atualizar f pela Colebrook.
  4. Repetir até convergir.

Passo 4

Chute f₀ = 0{,}02 →
V₀ = √[2·9,81·20,41·0,04/(0,02·100)] ≈ 2,83 m/s
Re₀ = 998·2,83·0,04/0,001 ≈ 1,13×10^5
Colebrook dá:
e/D = 0,00026/0,04 = 0,0065
1raizf1 = -2log10l(0,00653,7 + 2,511,13×10^5raiz0,02r) approx 5,508
logo f₁ = (1/5,508)² ≈ 0,033.

Passo 5

Com f₁ = 0,033:
V₁ = √[2·9,81·20,41·0,04/(0,033·100)] ≈ 2,20 m/s
Re₁ = 998·2,20·0,04/0,001 ≈ 8,8×10^4
Se fizermos outra iteração em Colebrook, voltamos a f ≃ 0,033 (já está convergido).

Passo 6

Agora calculamos a vazão Q:
Área A = π·D²/4 = π·(0,04)²/4 ≈ 1,2566×10⁻³ m²
Q = V·A = 2,20 m/s times 1,2566×10^-3 m^2 approx 2,77×10^-3 m^3/s

Resposta

A vazão máxima estimada é cerca de 2,77×10⁻³ m³/s (≈ 2,77 L/s).

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