Questão 1 (5.0 pontos) As funções
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.
e
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.
são contínuas em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se cada uma das duas funções é contínua em [(0,0)) e justificar a resposta.
Informações dadas:
f_1(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
f_2(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
O valor das funções no ponto (0,0)\] é \(0 em ambos os casos. Portanto, para cada função precisamos estudar o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} da expressão que aparece para (x,y)\neq(0,0) e verificar se esse limite é igual a 0.]

Passo 2

Definição que vamos usar (passo didático): uma função g(x,y) é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=g(0,0).
Aqui g(0,0) é o valor definido no ponto (aqui é 0 para ambas). Para testar continuidade precisamos, portanto, verificar existência e valor do limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) por quaisquer direções. Uma técnica muito útil é usar coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), porque r=\sqrt{x^2+y^2}\to0 descreve “ir ao ponto” independentemente da direção \theta.

Passo 3

Análise detalhada de f_1.
Para (x,y)\neq(0,0) coloque x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r>0. Então \sqrt{x^2+y^2}=r e
\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r}=r\cos\theta\sin\theta.
Explico cada símbolo: r é a distância de (x,y) até a origem e \theta é a direção. Assim o valor da função em termos de r,\theta é r\cos\theta\sin\theta. Agora tome o módulo:
\left|\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|=|r\cos\theta\sin\theta|=r\,|\cos\theta\sin\theta|.
Sabemos que |\cos\theta|\le1 e |\sin\theta|\le1, logo |\cos\theta\sin\theta|\le1. Melhor ainda, |\cos\theta\sin\theta|\le\frac{1}{2} (pois |\sin 2\theta|=2|\sin\theta\cos\theta|\le1\Rightarrow |\sin\theta\cos\theta|\le 1/2), então
\left|\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|\le \frac{r}{2}.
Como r=\sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), o lado direito \frac{r}{2}\to0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Se preferir um argumento epsilon‑delta (útil na prova): dado \varepsilon>0, escolha \delta=2\varepsilon. Se \sqrt{x^2+y^2}=r<\delta então
\left|\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-0\right|\le\frac{r}{2}<\frac{\delta}{2}=\varepsilon.
Assim o limite é 0, que é igual a f_1(0,0). Conclusão: f_1 é contínua em (0,0).

Passo 4

Análise detalhada de f_2.
Vamos investigar \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}. Um procedimento clássico para testar existência é calcular limites ao longo de retas passando pela origem.
  1. Ao longo da reta y=0 (ou seja, aproximando por pontos (x,0) com x\to0):
\frac{x^{2}-0^{2}}{x^{2}+0^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
Logo a aproximação por essa direção dá limite 1.
  1. Ao longo da reta x=0 (pontos (0,y) com y\to0):
\frac{0^{2}-y^{2}}{0^{2}+y^{2}}=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1.
Essa direção dá limite -1.
Como os limites ao longo de duas direções diferentes dão valores distintos ( 1 e -1), o limite total quando (x,y)\to(0,0) não existe. Para reforçar a ideia: tomando y=mx (reta de declive m) com x\neq0, temos
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}-m^{2}x^{2}}{x^{2}+m^{2}x^{2}}=\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}},
que depende de m. Diferentes m produzem diferentes valores, então não há um único limite. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
não existe, e como o valor definido no ponto é 0, segue que f_2 não é contínua em (0,0).

Resposta

f_1 é contínua em (0,0).
f_2 não é contínua em (0,0).

Exercícios relacionados