O valor das funções no ponto (0,0)\] é \(0 em ambos os casos. Portanto, para cada função precisamos estudar o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} da expressão que aparece para (x,y)\neq(0,0) e verificar se esse limite é igual a 0.]
Passo 2
Definição que vamos usar (passo didático): uma função g(x,y) é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=g(0,0).
Aqui g(0,0) é o valor definido no ponto (aqui é 0 para ambas). Para testar continuidade precisamos, portanto, verificar existência e valor do limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) por quaisquer direções. Uma técnica muito útil é usar coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), porque r=\sqrt{x^2+y^2}\to0 descreve “ir ao ponto” independentemente da direção \theta.
Passo 3
Análise detalhada de f_1.
Para (x,y)\neq(0,0) coloque x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r>0. Então \sqrt{x^2+y^2}=r e
Explico cada símbolo: r é a distância de (x,y) até a origem e \theta é a direção. Assim o valor da função em termos de r,\theta é r\cos\theta\sin\theta. Agora tome o módulo:
Sabemos que |\cos\theta|\le1 e |\sin\theta|\le1, logo |\cos\theta\sin\theta|\le1. Melhor ainda, |\cos\theta\sin\theta|\le\frac{1}{2} (pois |\sin 2\theta|=2|\sin\theta\cos\theta|\le1\Rightarrow |\sin\theta\cos\theta|\le 1/2), então
Assim o limite é 0, que é igual a f_1(0,0). Conclusão: f_1 é contínua em (0,0).
Passo 4
Análise detalhada de f_2.
Vamos investigar \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}. Um procedimento clássico para testar existência é calcular limites ao longo de retas passando pela origem.
Ao longo da reta y=0 (ou seja, aproximando por pontos (x,0) com x\to0):
Como os limites ao longo de duas direções diferentes dão valores distintos (1 e -1), o limite total quando (x,y)\to(0,0) não existe. Para reforçar a ideia: tomando y=mx (reta de declive m) com x\neq0, temos