[Incompletude de (\mathbb{Q}) ] Seja
um corpo ordenado com sua ordem denotada por "<"e
um de seus subconjuntos.
Considere, agora, o seguinte exemplo concreto de subconjunto de Q:
Para este subconjunto concreto mencionado acima, resolva os seguintes itens:
a) Mostre que
;
b) Mostre que o número racional
é uma cota superior para
;
c) Prove o seguinte resultado: Lema 1. Para todo
com
, existe
com tal que
d) Prove o seguinte resultado: Lema 2. Para todo
como
, eriste
com
tal que
Explique como estes quatro itens acima provam o seguinte resultado: Teorema.
conjunto dos números racionais Q, embora seja um corpo ordenado, não é completo.
i) Escreva a definição de elemento
ser uma cota superior para
;
ii) Assumindo que
já seja uma cota superior para
, escreva a definição deste elemento
ser a menor das cotas superiores para
.
iii) Defina quando o corpo ordenado
é completo.
a) Mostre que
b) Mostre que o número racional
c) Prove o seguinte resultado: Lema 1. Para todo
i) Escreva a definição de elemento
ii) Assumindo que
iii) Defina quando o corpo ordenado
Passo 1
O enunciado fornece o corpo ordenado
(os racionais com a ordem usual) e o subconjunto
As tarefas pedidas são:
a) Mostrar que .
b) Mostrar que o racional é uma cota superior para
.
c) Provar o Lema 1: para todo com
, existe
tal que
a) Mostrar que
b) Mostrar que o racional
c) Provar o Lema 1: para todo
d) Provar o Lema 2: para todo
com
, existe
com
tal que
Depois disso mostraremos como (a)–(d) provam o Teorema:
, apesar de ser um corpo ordenado, não é completo. Além disso pedem-se as definições:
i) quando é cota superior de
;
ii) quando é a menor cota superior de
;
iii) quando o corpo ordenado é completo.
i) quando
ii) quando
iii) quando o corpo ordenado
Passo 2
(a) Mostrar que
.
Explicação didática do que significa
: precisamos verificar duas coisas (pela definição de
): (i) que
para alguns
e (ii) que
.
Construção concreta e verificação:
Escolhemos e
, que pertencem a
. Então
Escolhemos
Calculemos o quadrado:
Portanto
satisfaz as duas condições da definição de
, logo
.
Comentário pedagógico curto: aqui usamos literalmente a definição de
. Mostrar que um número está em
significa dar representação como fração de inteiros positivos e verificar que o quadrado é menor que
.
Passo 3
(b) Mostrar que
é uma cota superior para
.
O que significa ser cota superior (lembrando que a definição formal virá depois): precisamos provar que para todo
vale
.
Tomemos um
. Pela definição de
existe
tais que
e
Observação útil (e justificada): para números positivos a função
é estritamente crescente. Como
, temos
, e a desigualdade entre quadrados preserva a ordem positiva.
Agora raciocínio por contradição simples: suponha que
. Então, por crescimento do quadrado em positivos,
Mas isso contradiz
. Portanto não é possível
. Logo para todo
temos
, ou seja,
é cota superior de
.
Comentário didático: a ideia é simples —
tem quadrado maior que
, logo nenhum elemento de
(cujo quadrado é menor que
) pode ultrapassar
.
Passo 4
(c) Provar o Lema 1: para todo
com
, existe
tal que
.
Plano pedagógico: queremos mostrar que se um racional
tem quadrado estritamente menor que
, então podemos encontrar outro racional maior que
mas ainda com quadrado menor que
. A ideia é produzir um aumento pequeno e racional de
(por exemplo
) de modo que o quadrado não ultrapasse
. Como
é racional,
é racional.
Detalhe construtivo:
- Primeiro tratemos o caso
. Então, por (a), e . Como , podemos escolher e já temos . Assim o caso é trivial. - Agora consideremos
e . Queremos achar tal que, com , valha . Calculemos
Queremos
, isto é
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
O lado direito é quadrático em
com coeficiente positivo
, enquanto o lado esquerdo é linear. Portanto, para
suficientemente grande a desigualdade é satisfeita. Mais explicitamente, basta escolher
inteiro com
pois para esse
teremos
e então, para
grande, também
é pequeno e a soma fica menor que
. Assim existe
com
.
Concluímos então que, para
com
, tomando
com
suficientemente grande (escolhido como acima), obtemos
,
e
, ou seja
e
.
Comentário pedagógico: a ideia chave é que ao somar uma pequena quantidade racional
a
o quadrado muda continuamente, e porque
podemos escolher a pequena quantidade para não ultrapassar
. O detalhe de escolher
grande é explicitado por manipulação algébrica.
Passo 5
(d) Provar o Lema 2: para todo
com
, existe
com
tal que
Interpretação: dado um racional
com
, queremos encontrar um racional
que ainda seja maior que todos os elementos de
; em outras palavras, um racional
estritamente menor que
que seja cota superior de
.
Construção e prova:
- Se
então , impossível porque . Logo . - Considere a sequência
para grande. Temos conforme . O quadrado
tende para
quando
. Como
, existe
tal que para todo
vale
. Escolha então
e defina
. Assim
e
e
.
- Agora mostre que
é cota superior de . Tome qualquer . Então (pois usa ) e . Como a função quadrado é estritamente crescente em , disso segue . Como era arbitrário em , temos . Ou seja, é uma cota superior de e satisfeito .
Comentário pedagógico: essa construção usa a mesma ideia de perturbar
por uma fração
e utilizar que para
grande o quadrado de
fica ainda maior que
. Assim conseguimos uma cota superior estritamente menor que
.
Passo 6
Como (a)–(d) implicam que
não é completo — argumento final (organizado e didático).
Objetivo: provar que
não tem menor cota superior (supremo) em
. Isso mostra que
não possui a propriedade de completude (existência de supremo para todo subconjunto não-vazio limitado superiormente).
Raciocínio:
- Primeiro,
é não-vazio (por (a) ) e está limitado superiormente (por (b) é uma cota superior). Então faz sentido perguntar se tem menor cota superior em . - Suponha, para obter contradição, que exista
que seja a menor cota superior (o supremo) de em . - Não pode acontecer
: se isso ocorresse, pelo Lema 1 (Passo 4) existiria com , contradizendo que é cota superior. - Não pode acontecer
porque (fato clássico), logo não pode ser racional com quadrado exatamente . - Logo necessariamente
. Mas então, pelo Lema 2 (Passo 5), existe com tal que . Ou seja, é uma cota superior de estritamente menor que . Isso contradiz a suposição de que era a menor cota superior. - Conclusão: não existe menor cota superior de
em . Assim é um subconjunto não-vazio e limitado superiormente de que não tem supremo em . Portanto não é completo.
Comentário final e motivacional: isso mostra de modo explícito e construtivo por que falta “pedaço” aos racionais — o supremo de
na reta é
, que não é racional, e os lemas mostram que quaisquer candidatos racionais falham por estarem abaixo (lem.1) ou acima (lem.2) de forma descartável.
Passo 7
Agora as definições pedidas, escritas formalmente e com explicação curta:
i) Definição de cota superior: Seja
um corpo ordenado,
. Dizemos que
é cota superior de
se
Comentário: é exatamente o que usamos quando mostramos que
é cota superior de
.
ii) Definição de menor cota superior (supremo): Suponha que
é cota superior de
. Dizemos que
é a menor cota superior (ou supremo de
em
) se, além de ser cota superior, vale também
Isto é: qualquer outra cota superior
domina
.
iii) Definição de completude do corpo ordenado
: Dizemos que
é completo (ou tem a propriedade do supremo) se todo subconjunto não-vazio
que seja limitado superiormente (existe
com
) possui uma menor cota superior em
. Em fórmulas:
Comentário pedagógico: a incompletude de
consiste exatamente em que existe algum
(como o dado) que é não-vazio e limitado superiormente em
mas não tem supremo em
.
Resposta
a)
.\n
b) é cota superior de
.\n
c) (Lema 1) Para todo com
existe
tal que
.\n
d) (Lema 2) Para todo com
existe
com
e
.\n
Teorema: Pelo item (a) e pelo item (b)
é limitada superiormente; se houvesse menor cota superior racional
então
não poderia ser
(pois Lema 1), não poderia ser
(pois
) e, se
, pelo Lema 2 existiria cota superior racional menor que
, contradição. Logo
não tem supremo em
e
não é completo.\n
i) é cota superior de
se
.\n
ii) é a menor cota superior de
se
é cota superior e
.\n
iii) é completo se todo subconjunto não-vazio e limitado superiormente de
possui menor cota superior em
.
b)
c) (Lema 1) Para todo
d) (Lema 2) Para todo
Teorema: Pelo item (a)
i)
ii)
iii)