[Incompletude de (\mathbb{Q}) ] Seja K um corpo ordenado com sua ordem denotada por "<"e X um de seus subconjuntos.
Considere, agora, o seguinte exemplo concreto de subconjunto de Q:
X:=\left\{\frac{p}{q}: \operatorname{com} p, q \in \mathbb{Z}_{++} \text {e } \frac{p}{q} \cdot \frac{p}{q}<2\right\}
Para este subconjunto concreto mencionado acima, resolva os seguintes itens:
a) Mostre que 1 \in X;
b) Mostre que o número racional 3 / 2 é uma cota superior para X;
c) Prove o seguinte resultado: Lema 1. Para todo s \in \mathbb{Q} com s^{2}>2, existe x(s) \in X com tal que
s<x(s)
d) Prove o seguinte resultado: Lema 2. Para todo s \in \mathbb{Q} como s^{2}>2, eriste t(s) \in \mathbb{Q} com t(s)<s tal que
\forall x \in X \Rightarrow x<t(s)
Explique como estes quatro itens acima provam o seguinte resultado: Teorema. O conjunto dos números racionais Q, embora seja um corpo ordenado, não é completo.
i) Escreva a definição de elemento s \in K ser uma cota superior para X;
ii) Assumindo que s \in K já seja uma cota superior para X, escreva a definição deste elemento s ser a menor das cotas superiores para X.
iii) Defina quando o corpo ordenado K é completo.

Passo 1

O enunciado fornece o corpo ordenado \mathbb{Q} (os racionais com a ordem usual) e o subconjunto
X := \left\{\frac{p}{q} : p,q \in \mathbb{Z}_{++}\\ \text{e}\\ \frac{p}{q}\cdot\frac{p}{q}<2\right\}.
As tarefas pedidas são:
a) Mostrar que 1\in X.
b) Mostrar que o racional \tfrac{3}{2} é uma cota superior para X.
c) Provar o Lema 1: para todo s\in\mathbb{Q} com s^{2}<2, existe x(s)\in X tal que
s<x(s).
d) Provar o Lema 2: para todo s\in\mathbb{Q} com s^{2}>2, existe t(s)\in\mathbb{Q} com t(s)<s tal que
\forall x\in X \Rightarrow x<t(s).
Depois disso mostraremos como (a)–(d) provam o Teorema: \mathbb{Q}, apesar de ser um corpo ordenado, não é completo. Além disso pedem-se as definições:
i) quando s\in K é cota superior de X;
ii) quando s\in K é a menor cota superior de X;
iii) quando o corpo ordenado K é completo.

Passo 2

(a) Mostrar que 1\in X.
Explicação didática do que significa 1\in X: precisamos verificar duas coisas (pela definição de X): (i) que 1=\dfrac{p}{q} para alguns p,q\in\mathbb{Z}_{++} e (ii) que \left(\dfrac{p}{q}\right)^{2}<2.
Construção concreta e verificação:
Escolhemos p=1 e q=1, que pertencem a \mathbb{Z}_{++}. Então
\frac{p}{q}=\frac{1}{1}=1.
Calculemos o quadrado:
1\cdot 1 = 1 < 2.
Portanto 1 satisfaz as duas condições da definição de X, logo 1\in X.
Comentário pedagógico curto: aqui usamos literalmente a definição de X. Mostrar que um número está em X significa dar representação como fração de inteiros positivos e verificar que o quadrado é menor que 2.

Passo 3

(b) Mostrar que \tfrac{3}{2} é uma cota superior para X.
O que significa ser cota superior (lembrando que a definição formal virá depois): precisamos provar que para todo x\in X vale x\le \tfrac{3}{2}.
Tomemos um x\in X. Pela definição de X existe p,q\in\mathbb{Z}_{++} tais que x=\dfrac{p}{q} e
\left(\frac{p}{q}\right)^2 < 2.
Observação útil (e justificada): para números positivos a função y\mapsto y^2 é estritamente crescente. Como p,q>0, temos x>0, e a desigualdade entre quadrados preserva a ordem positiva.
Agora raciocínio por contradição simples: suponha que x>\dfrac{3}{2}. Então, por crescimento do quadrado em positivos,
x^2 > \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2{,}25.
Mas isso contradiz x^2<2. Portanto não é possível x>\dfrac{3}{2}. Logo para todo x\in X temos x\le \dfrac{3}{2}, ou seja, \tfrac{3}{2} é cota superior de X.
Comentário didático: a ideia é simples — \tfrac{3}{2} tem quadrado maior que 2, logo nenhum elemento de X (cujo quadrado é menor que 2) pode ultrapassar \tfrac{3}{2}.

Passo 4

(c) Provar o Lema 1: para todo s\in\mathbb{Q} com s^{2}<2, existe x(s)\in X tal que s<x(s).
Plano pedagógico: queremos mostrar que se um racional s tem quadrado estritamente menor que 2, então podemos encontrar outro racional maior que s mas ainda com quadrado menor que 2. A ideia é produzir um aumento pequeno e racional de s (por exemplo 1/n) de modo que o quadrado não ultrapasse 2. Como s é racional, s+1/n é racional.
Detalhe construtivo:
  • Primeiro tratemos o caso s<0. Então, por (a), 1\in X e 1>s. Como 1\in X, podemos escolher x(s)=1 e já temos s<x(s). Assim o caso s<0 é trivial.
  • Agora consideremos s\ge 0 e s^{2}<2. Queremos achar n\in\mathbb{N} tal que, com x:=s+\dfrac{1}{n}, valha x^{2}<2. Calculemos
x^{2} = \left(s+\frac{1}{n}\right)^{2} = s^{2}+\frac{2s}{n}+\frac{1}{n^{2}}.
Queremos s^{2}+\dfrac{2s}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}<2, isto é
\frac{2s}{n}+\frac{1}{n^{2}} < 2-s^{2}.
Multiplicando ambos os lados por n^{2}>0 obtemos
2sn+1 < (2-s^{2})n^{2}.
O lado direito é quadrático em n com coeficiente positivo (2-s^{2})>0, enquanto o lado esquerdo é linear. Portanto, para n suficientemente grande a desigualdade é satisfeita. Mais explicitamente, basta escolher n inteiro com
n > \max\left\{1,\; \frac{2s}{2-s^{2}} \right\},
pois para esse n teremos \dfrac{2s}{n}<2-s^{2} e então, para n grande, também \dfrac{1}{n^{2}} é pequeno e a soma fica menor que 2-s^{2}. Assim existe n\in\mathbb{N} com \left(s+\dfrac{1}{n}\right)^{2}<2.
Concluímos então que, para s\ge 0 com s^{2}<2, tomando x(s):=s+\dfrac{1}{n} com n suficientemente grande (escolhido como acima), obtemos x(s)\in\mathbb{Q}, x(s)>s e x(s)^{2}<2, ou seja x(s)\in X e s<x(s).
Comentário pedagógico: a ideia chave é que ao somar uma pequena quantidade racional 1/n a s o quadrado muda continuamente, e porque s^{2}<2 podemos escolher a pequena quantidade para não ultrapassar 2. O detalhe de escolher n grande é explicitado por manipulação algébrica.

Passo 5

(d) Provar o Lema 2: para todo s\in\mathbb{Q} com s^{2}>2, existe t(s)\in\mathbb{Q} com t(s)<s tal que
\forall x\in X,\quad x<t(s).
Interpretação: dado um racional s com s^{2}>2, queremos encontrar um racional t<s que ainda seja maior que todos os elementos de X; em outras palavras, um racional t estritamente menor que s que seja cota superior de X.
Construção e prova:
  • Se s\le 0 então s^{2}\le 0, impossível porque s^{2}>2. Logo s>0.
  • Considere a sequência t_{n}:=s-\dfrac{1}{n} para n\in\mathbb{N} grande. Temos t_{n}\uparrow s conforme n\to\infty. O quadrado
t_{n}^{2} = \left(s-\frac{1}{n}\right)^{2} = s^{2}-\frac{2s}{n}+\frac{1}{n^{2}}
tende para s^{2} quando n\to\infty. Como s^{2}>2, existe N tal que para todo n\ge N vale t_{n}^{2}>2. Escolha então n\ge N e defina t(s):=t_{n}=s-\dfrac{1}{n}. Assim t(s)\in\mathbb{Q} e t(s)<s e t(s)^{2}>2.
  • Agora mostre que t(s) é cota superior de X. Tome qualquer x\in X. Então x>0 (pois X usa p,q\in\mathbb{Z}_{++}) e x^{2}<2<t(s)^{2}. Como a função quadrado é estritamente crescente em [0,\infty), disso segue x<t(s). Como x era arbitrário em X, temos \forall x\in X,\\ x<t(s). Ou seja, t(s) é uma cota superior de X e satisfeito t(s)<s.
Comentário pedagógico: essa construção usa a mesma ideia de perturbar s por uma fração 1/n e utilizar que para n grande o quadrado de s-\tfrac{1}{n} fica ainda maior que 2. Assim conseguimos uma cota superior estritamente menor que s.

Passo 6

Como (a)–(d) implicam que \mathbb{Q} não é completo — argumento final (organizado e didático).
Objetivo: provar que X não tem menor cota superior (supremo) em \mathbb{Q}. Isso mostra que \mathbb{Q} não possui a propriedade de completude (existência de supremo para todo subconjunto não-vazio limitado superiormente).
Raciocínio:
  1. Primeiro, X é não-vazio (por (a) 1\in X) e está limitado superiormente (por (b) \tfrac{3}{2} é uma cota superior). Então faz sentido perguntar se X tem menor cota superior em \mathbb{Q}.
  2. Suponha, para obter contradição, que exista u\in\mathbb{Q} que seja a menor cota superior (o supremo) de X em \mathbb{Q}.
  3. Não pode acontecer u^{2}<2: se isso ocorresse, pelo Lema 1 (Passo 4) existiria x\in X com u<x, contradizendo que u é cota superior.
  4. Não pode acontecer u^{2}=2 porque \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} (fato clássico), logo u não pode ser racional com quadrado exatamente 2.
  5. Logo necessariamente u^{2}>2. Mas então, pelo Lema 2 (Passo 5), existe t\in\mathbb{Q} com t<u tal que \forall x\in X,\\ x<t. Ou seja, t é uma cota superior de X estritamente menor que u. Isso contradiz a suposição de que u era a menor cota superior.
  6. Conclusão: não existe menor cota superior de X em \mathbb{Q}. Assim X é um subconjunto não-vazio e limitado superiormente de \mathbb{Q} que não tem supremo em \mathbb{Q}. Portanto \mathbb{Q} não é completo.
Comentário final e motivacional: isso mostra de modo explícito e construtivo por que falta “pedaço” aos racionais — o supremo de X na reta é \sqrt{2}, que não é racional, e os lemas mostram que quaisquer candidatos racionais falham por estarem abaixo (lem.1) ou acima (lem.2) de forma descartável.

Passo 7

Agora as definições pedidas, escritas formalmente e com explicação curta:
i) Definição de cota superior: Seja K um corpo ordenado, X\subseteq K. Dizemos que s\in K é cota superior de X se
\forall x\in X,\quad x\le s.
Comentário: é exatamente o que usamos quando mostramos que \tfrac{3}{2} é cota superior de X.
ii) Definição de menor cota superior (supremo): Suponha que s\in K é cota superior de X. Dizemos que s é a menor cota superior (ou supremo de X em K) se, além de ser cota superior, vale também
\forall u\in K,\\ \Big(\forall x\in X,\\ x\le u\Big)\\ \Rightarrow\\ s\le u.
Isto é: qualquer outra cota superior u domina s.
iii) Definição de completude do corpo ordenado K: Dizemos que K é completo (ou tem a propriedade do supremo) se todo subconjunto não-vazio X\subseteq K que seja limitado superiormente (existe u\in K com \forall x\in X,\\ x\le u) possui uma menor cota superior em K. Em fórmulas:
\forall X\subseteq K,\\ \Big(X\neq\varnothing\\ \wedge\\ \exists u\in K\\ \forall x\in X,\\ x\le u\Big)\\ \Rightarrow\\ \exists s\in K\\ \Big(\\ s\\ \text{é menor cota superior de }X\Big).é
Comentário pedagógico: a incompletude de \mathbb{Q} consiste exatamente em que existe algum X (como o dado) que é não-vazio e limitado superiormente em \mathbb{Q} mas não tem supremo em \mathbb{Q}.

Resposta

a) 1\in X.\n
b) \tfrac{3}{2} é cota superior de X.\n
c) (Lema 1) Para todo s\in\mathbb{Q} com s^{2}<2 existe x(s)\in X tal que s<x(s).\n
d) (Lema 2) Para todo s\in\mathbb{Q} com s^{2}>2 existe t(s)\in\mathbb{Q} com t(s)<s e \forall x\in X,\\ x<t(s).\n
Teorema: Pelo item (a) X\neq\varnothing e pelo item (b) X é limitada superiormente; se houvesse menor cota superior racional u então u^{2} não poderia ser <2 (pois Lema 1), não poderia ser =2 (pois \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}) e, se u^{2}>2, pelo Lema 2 existiria cota superior racional menor que u, contradição. Logo X não tem supremo em \mathbb{Q} e \mathbb{Q} não é completo.\n
i) s\in K é cota superior de X se \forall x\in X,\\ x\le s.\n
ii) s\in K é a menor cota superior de X se s é cota superior e \forall u\in K\big(\forall x\in X,\\ x\le u\Rightarrow s\le u\big).\n
iii) K é completo se todo subconjunto não-vazio e limitado superiormente de K possui menor cota superior em K.

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