integral 1x^2 raiz4-x^2 d x
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral1^2 1x^2 raiz4-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para achar a primitiva da função f(x)=1x^2raiz4-x^2 (ou seja, calcular integral 1x^2raiz4-x^2,dx) e depois avaliar a integral imprópria integral1^21x^2raiz4-x^2,dx. O conteúdo principal aqui é “integração por substituição trigonométrica”, pois temos raiz quadrada da forma raiza^2-x^2.

Passo 2

Para eliminar a raiz raiz4-x^2 de maneira simples, fazemos a substituição trigonométrica x=2sintheta. Então
x=2sintheta, dx=2costheta,dtheta,raiz4-x^2=raiz4-4sin^2theta=2costheta

Passo 3

Substituindo em integral1x^2raiz4-x^2,dx obtemos
integral1(2sintheta)^2,(2costheta),(2costheta),dtheta=integral14sin^2theta,dtheta=14integralcsc^2theta,dtheta

Passo 4

Sabemos que integralcsc^2theta,dtheta=-cottheta+C. Logo a primitiva em theta é
14(-cottheta)+C=-14cottheta+C

Passo 5

Voltando para x, note que cottheta=costhetasintheta e
costheta=raiz4-x^22,sintheta=x2impliescottheta=raiz4-x^2/2x/2=raiz4-x^2x

Passo 6

Assim a primitiva em termos de x fica
F(x)=-14cdotraiz4-x^2x+C=-raiz4-x^24x+C

Passo 7

Para a integral imprópria integral1^21x^2raiz4-x^2,dx, usamos o teorema fundamental e avaliamos no limite superior 2 por aproximação:
integral1^21x^2raiz4-x^2,dx=limbto2^-l[F(b)-F(1)r]

Passo 8

Quando xto2^-, raiz4-x^2to0 e então F(b)to0. Em x=1, temos raiz4-1=raiz3, logo
F(1)=-raiz34cdot1=-raiz34

Passo 9

Portanto
limbto2^-l(F(b)-F(1)r)=0-l(-tfracraiz34r)=raiz34, e isso mostra que a integral imprópria é convergente e vale tfracraiz34.

Resposta

integral1^21x^2raiz4-x^2,dx=raiz34

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