Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado pede para achar a primitiva da função
(ou seja, calcular
) e depois avaliar a integral imprópria
. O conteúdo principal aqui é “integração por substituição trigonométrica”, pois temos raiz quadrada da forma
.
Passo 2
Para eliminar a raiz
de maneira simples, fazemos a substituição trigonométrica
. Então
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Sabemos que
. Logo a primitiva em
é
Passo 5
Voltando para
, note que
e
Passo 6
Assim a primitiva em termos de
fica
Passo 7
Para a integral imprópria
, usamos o teorema fundamental e avaliamos no limite superior
por aproximação:
Passo 8
Quando
,
e então
. Em
, temos
, logo
Passo 9
Portanto