Questão 3 (3,0 pontos): Suponha que estejamos trabalhando no \mathbb{R}_{+}^{3} e um consumidor possui as seguintes funções de demanda x(p, w) :
x_{1}(p, w)=\frac{p_{2}}{p_{3}}, \quad x_{2}(p, w)=\frac{p_{1}}{p_{3}}, \quad x_{3}(p, w)=\frac{w}{p_{3}}
a) Mostre que a demanda walrasiana é homogênea de grau zero em preços e renda, ( \mathrm{p} ; \mathrm{w} ).
b) A cestas x(p, w) satisfaz a Lei de Walras?

Passo 1

O enunciado nos coloca em \mathbb{R}_{+}^{3} e define a função-demanda walrasiana
x_{1}(p,w)=\frac{p_{2}}{p_{3}},\quad x_{2}(p,w)=\frac{p_{1}}{p_{3}},\quad x_{3}(p,w)=\frac{w}{p_{3}}.
Precisamos mostrar dois pontos:
  1. Que x(p,w) é homogênea de grau zero em (p,w).
  2. Que a cesta x(p,w) satisfaz (ou não) a Lei de Walras, ou seja, se \;p\cdot x(p,w)=w.

Passo 2

Homogeneidade de grau zero significa que, para todo t>0,
x(tp,\,t w)\;=\;x(p,w).
Vamos verificar coordenada a coordenada:
x_{1}(t p,\,t w) =\frac{(t p)_{2}}{(t p)_{3}} =\frac{t\,p_{2}}{t\,p_{3}} =\frac{p_{2}}{p_{3}} =x_{1}(p,w),
x_{2}(t p,\,t w) =\frac{(t p)_{1}}{(t p)_{3}} =\frac{t\,p_{1}}{t\,p_{3}} =\frac{p_{1}}{p_{3}} =x_{2}(p,w),
x_{3}(t p,\,t w) =\frac{t\,w}{(t p)_{3}} =\frac{t\,w}{t\,p_{3}} =\frac{w}{p_{3}} =x_{3}(p,w).
Como todas as três coordenadas permanecem iguais, concluímos que x(p,w) é homogênea de grau zero.

Passo 3

A Lei de Walras exige que o gasto total p\cdot x(p,w) seja igual à renda w. Calculamos
p\cdot x(p,w) = p_{1}\,x_{1}(p,w)+p_{2}\,x_{2}(p,w)+p_{3}\,x_{3}(p,w).
Substituindo as demandas:
p_{1}\,\frac{p_{2}}{p_{3}} \;+\; p_{2}\,\frac{p_{1}}{p_{3}} \;+\; p_{3}\,\frac{w}{p_{3}} = \frac{p_{1}p_{2}}{p_{3}} + \frac{p_{1}p_{2}}{p_{3}} + w = 2\,\frac{p_{1}p_{2}}{p_{3}}+w.
Para que valha a Lei de Walras, precisaríamos de
2\,\frac{p_{1}p_{2}}{p_{3}}+w = w,
o que só ocorre se \tfrac{p_{1}p_{2}}{p_{3}}=0. Em geral, com preços positivos, isso não vale. Portanto, a função-demanda não satisfaz a Lei de Walras.

Resposta

a) A demanda x(p,w) é homogênea de grau zero em (p,w).
b) Não, a cesta x(p,w) não satisfaz a Lei de Walras, pois em geral p\cdot x(p,w)=w+2\,(p_{1}p_{2}/p_{3})\neq w.

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