Questão 2 (3 pontos)
Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 300 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2 km a oeste da central. O custo da obra através do rio é de R$640,00 por metro, enquanto que o custo da obra por terra é de R$ 320,00 por metro. Qual é a forma mais económica de se instalar a rede de água potável?

Passo 1

O enunciado pede a instalação de uma tubulação de água desde uma central na margem sul de um rio de largura 300 m até um conjunto habitacional na margem norte, que fica 2 km a oeste da central. O custo de implantação é de R$ (640,00) por metro dentro do rio e de R por metro dentro do rio e de R$ 320,00 por metro em terra.
O conteúdo aqui é otimização de função de custo usando derivada para determinar onde atravessar o rio de forma a minimizar o gasto total.

Passo 2

Escolhemos uma variável x em quilômetros para marcar o ponto de desembarque na margem norte, medido a partir do ponto diretamente oposto à central, indo para o oeste. Assim:
– Se x=0 atravessamos perpendicularmente ( 300 m) e depois seguimos 2 km em terra.
– Se x>0 atravessamos obliquamente até o ponto que está x km a oeste do ponto oposto, depois seguimos (2-x) km em terra até o conjunto.

Passo 3

Comprimentos em quilômetros:
distância de água = raizx^2 + (0,3)^2, distância de terra = 2 - x âáâ
Custos por km: R$ (640000) na água e R na água e R$ 320000 em terra. Logo o custo total é
C(x) =640000raizx^2+0,09 +320000,(2 - x)

Passo 4

Para achar o mínimo, derivamos C(x) e igualamos a zero:
C'(x) =640000 ,xraizx^2+0,09 -320000 stackrel!=0 Longrightarrow 640000,xraizx^2+0,09=320000

Passo 5

Simplificando,
2,xraizx^2+0,09=1 ;Longrightarrow;2x=raizx^2+0,09 ;Longrightarrow;4x^2=x^2+0,09 ;Longrightarrow;3x^2=0,09 ;Longrightarrow;x=raiz0,03approx0,1732 km
Esse valor está no domínio [0,2], é único e garante mínimo.
As distâncias então ficam
atravessia=raiz0,1732^2+0,09approx0,3464 km (346,4 m),
trecho em terra=2-0,1732approx1,8268 km (1826,8 m)
O custo mínimo vale aproximadamente
C(0,1732) approx640000cdot0,3464 +320000cdot1,8268 approx806,280 R$

Passo 6

Em comparação, atravessar perpendicularmente e depois ir 2 km em terra custa
640000cdot0,3+320000cdot2 =192000+640000=832000 R$,
e cruzar diretamente até o conjunto (sem trecho em terra) dá mais de 1,29 milhão. Portanto a opção ótima é a que achamos acima.

Resposta

A forma mais económica é atravessar obliquamente o rio até um ponto situado cerca de 173 m a oeste do ponto diretamente oposto à central (tubulação subaquática de aproximadamente 346 m), e depois seguir em terra por cerca de 1827 m. Isso minimiza o custo total em aproximadamente R$ 806280.

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