Questão 2 (3 pontos)
Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 300 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2 km a oeste da central. O custo da obra através do rio é de R$640,00 por metro, enquanto que o custo da obra por terra é de R$ 320,00 por metro. Qual é a forma mais económica de se instalar a rede de água potável?
Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 300 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2 km a oeste da central. O custo da obra através do rio é de R$640,00 por metro, enquanto que o custo da obra por terra é de R$ 320,00 por metro. Qual é a forma mais económica de se instalar a rede de água potável?
Passo 1
O enunciado pede a instalação de uma tubulação de água desde uma central na margem sul de um rio de largura
m até um conjunto habitacional na margem norte, que fica
km a oeste da central. O custo de implantação é de R$
por metro dentro do rio e de R$
por metro em terra.
O conteúdo aqui é otimização de função de custo usando derivada para determinar onde atravessar o rio de forma a minimizar o gasto total.
O conteúdo aqui é otimização de função de custo usando derivada para determinar onde atravessar o rio de forma a minimizar o gasto total.
Passo 2
Escolhemos uma variável
em quilômetros para marcar o ponto de desembarque na margem norte, medido a partir do ponto diretamente oposto à central, indo para o oeste. Assim:
– Se atravessamos perpendicularmente (
m) e depois seguimos
km em terra.
– Se atravessamos obliquamente até o ponto que está
km a oeste do ponto oposto, depois seguimos
km em terra até o conjunto.
– Se
– Se
Passo 3
Comprimentos em quilômetros:
Custos por km: R$
na água e R$
em terra. Logo o custo total é
Passo 4
Para achar o mínimo, derivamos
e igualamos a zero:
Passo 5
Simplificando,
Esse valor está no domínio
, é único e garante mínimo.
As distâncias então ficam
O custo mínimo vale aproximadamente
Passo 6
Em comparação, atravessar perpendicularmente e depois ir
km em terra custa
e cruzar diretamente até o conjunto (sem trecho em terra) dá mais de
milhão. Portanto a opção ótima é a que achamos acima.
Resposta
A forma mais económica é atravessar obliquamente o rio até um ponto situado cerca de
m a oeste do ponto diretamente oposto à central (tubulação subaquática de aproximadamente
m), e depois seguir em terra por cerca de
m. Isso minimiza o custo total em aproximadamente R$
.