Suponha que a função seja -periódica. Esboce seu gráfico no intervalo , calcule seus limites laterais nos pontos e , por fim, encontre sua série de Fourier:
(k)
Passo 1
O enunciado define uma função
e pede: (i) esboçar o gráfico no intervalo . Vamos usar o conceito de extensão periódica, a definição dos coeficientes de Fourier e as fórmulas de integrais de funções constantes.
Passo 2
Esboço do gráfico: como f é 2pi-periódica, basta desenhar no intervalo [-pi,pi] e repetir. Em cada período:
De -tfracpi2 até tfracpi2, f(x)=1.
De tfracpi2 até tfrac3pi2equiv -tfracpi2pmod2pi, f(x)=-1.
Repetir esse padrão para obter o gráfico em [-2pi,2pi].
Passo 3
Limites laterais nos pontos de descontinuidade: 1. Em x=0, estamos dentro de -tfracpi2<x<tfracpi2, logo
limxto0^-f(x)=1, limxto0^+f(x)=1
2. Em x=tfracpi2:
limxto(pi/2)^-f(x)=1, limxto(pi/2)^+f(x)=-1
3. Em x=-tfracpi2 (ou equivalentemente x=3pi/2 módulo 2pi):
limxto(-pi/2)^-f(x)=-1, limxto(-pi/2)^+f(x)=1
Passo 4
Cálculo dos coeficientes de Fourier numa base de cossenos e senos em [-pi,pi]:
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx =0
(pois as áreas positivas e negativas se cancelam) e, para n>=1,