Suponha que a função f seja 2 pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 pi, 2 pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= pm pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(k) f(x)=l1,-pi / 2<x<pi / 2 -1, pi / 2<x<3 pi / 2

Passo 1

O enunciado define uma função
e pede: (i) esboçar o gráfico no intervalo . Vamos usar o conceito de extensão periódica, a definição dos coeficientes de Fourier e as fórmulas de integrais de funções constantes.

Passo 2

Esboço do gráfico: como f é 2pi-periódica, basta desenhar no intervalo [-pi,pi] e repetir. Em cada período:
  • De -tfracpi2 até tfracpi2, f(x)=1.
  • De tfracpi2 até tfrac3pi2equiv -tfracpi2pmod2pi, f(x)=-1.
    Repetir esse padrão para obter o gráfico em [-2pi,2pi].

Passo 3

Limites laterais nos pontos de descontinuidade:
1. Em x=0, estamos dentro de -tfracpi2<x<tfracpi2, logo
limxto0^-f(x)=1, limxto0^+f(x)=1
2. Em x=tfracpi2:
limxto(pi/2)^-f(x)=1, limxto(pi/2)^+f(x)=-1
3. Em x=-tfracpi2 (ou equivalentemente x=3pi/2 módulo 2pi):
limxto(-pi/2)^-f(x)=-1, limxto(-pi/2)^+f(x)=1

Passo 4

Cálculo dos coeficientes de Fourier numa base de cossenos e senos em [-pi,pi]:
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx =0
(pois as áreas positivas e negativas se cancelam) e, para n>=1,
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx
Dividindo em três subintervalos, encontra-se
an=4npisinl(npi2r), bn=0

Passo 5

Simplificando sinl(tfracnpi2r), que vale 0 para n par e (-1)^k para n=2k+1, obtemos
a2k+1 =4(2k+1)pi(-1)^k, a2k=0
Portanto a série de Fourier fica
f(x) =sumn=1^inftyancos(nx) =4pisumk=0^infty(-1)^k2k+1,cosl((2k+1)xr)

Resposta

boxed f(x)=4pil(cos x-13cos3x+15cos5x-cdotsr)

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