Em cada um dos seguintes casos, determine se a relação dada é uma relação de equivalência no conjunto. Descreva a partição que corresponde à relação de equivalência.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma relação definida no conjunto
(que são todos os pares ordenados de números racionais). A relação diz que dois pares
e
estão relacionados se a distância entre eles for um número inteiro. Para resolver isso, vamos verificar se essa relação é uma relação de equivalência, ou seja, se ela satisfaz três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade. E se for uma relação de equivalência, vamos dizer como ela divide o conjunto em grupos chamados partições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. Ela precisa cumprir três regras:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
- Simétrica: Se
está relacionado com , então está relacionado com . - Transitiva: Se
está relacionado com e está relacionado com , então está relacionado com .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa relação.
Passo 3
Reflexividade: A distância de um ponto para ele mesmo é sempre zero. E zero é um número inteiro (
). Então,
. Portanto, a relação é reflexiva.
Passo 4
Simetria: Se a distância entre
e
é um número inteiro, então a distância entre
e
também será a mesma (porque a fórmula da distância é simétrica). Então, se
, então
. Logo, a relação é simétrica.
Passo 5
Transitividade: Agora, vamos ver se a relação é transitiva. Suponha que
e
, ou seja, as distâncias
e
são números inteiros. A gente precisa saber se
também é um número inteiro.
Infelizmente, isso nem sempre acontece. Por exemplo:
- Imagine três pontos alinhados onde a distância entre
e é 1, e entre e também é 1. Então, a distância entre e será 2 (que é inteiro, então nesse caso funciona). - Mas, se os pontos não estiverem alinhados de forma que as distâncias se somem diretamente, a distância entre
e pode não ser um número inteiro. Por exemplo, se a distância entre e for 1 e entre e for , a distância entre e não será um número inteiro.
Portanto, a relação não garante a transitividade.
Resposta
A relação dada não é uma relação de equivalência, porque não satisfaz a propriedade da transitividade.