Em cada um dos seguintes casos, determine se a relação dada é uma relação de equivalência no conjunto. Descreva a partição que corresponde à relação de equivalência.
rho subseteq(Q^2)^2:(a1, a2) rho(b1, b2) Leftrightarrow raiz(b1-a1)^2+(b2-a2)^2 in Z;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma relação definida no conjunto Q^2 (que são todos os pares ordenados de números racionais). A relação diz que dois pares (a1, a2) e (b1, b2) estão relacionados se a distância entre eles for um número inteiro. Para resolver isso, vamos verificar se essa relação é uma relação de equivalência, ou seja, se ela satisfaz três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade. E se for uma relação de equivalência, vamos dizer como ela divide o conjunto em grupos chamados partições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. Ela precisa cumprir três regras:
  1. Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  2. Simétrica: Se A está relacionado com B, então B está relacionado com A.
  3. Transitiva: Se A está relacionado com B e B está relacionado com C, então A está relacionado com C.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa relação.

Passo 3

Reflexividade: A distância de um ponto para ele mesmo é sempre zero. E zero é um número inteiro ( 0 in Z). Então, raiz(a1 - a1)^2 + (a2 - a2)^2 = 0 in Z. Portanto, a relação é reflexiva.

Passo 4

Simetria: Se a distância entre (a1, a2) e (b1, b2) é um número inteiro, então a distância entre (b1, b2) e (a1, a2) também será a mesma (porque a fórmula da distância é simétrica). Então, se (a1, a2) rho (b1, b2), então (b1, b2) rho (a1, a2). Logo, a relação é simétrica.

Passo 5

Transitividade: Agora, vamos ver se a relação é transitiva. Suponha que (a1, a2) rho (b1, b2) e (b1, b2) rho (c1, c2), ou seja, as distâncias raiz(b1 - a1)^2 + (b2 - a2)^2 e raiz(c1 - b1)^2 + (c2 - b2)^2 são números inteiros. A gente precisa saber se raiz(c1 - a1)^2 + (c2 - a2)^2 também é um número inteiro.
Infelizmente, isso nem sempre acontece. Por exemplo:
  • Imagine três pontos alinhados onde a distância entre A e B é 1, e entre B e C também é 1. Então, a distância entre A e C será 2 (que é inteiro, então nesse caso funciona).
  • Mas, se os pontos não estiverem alinhados de forma que as distâncias se somem diretamente, a distância entre A e C pode não ser um número inteiro. Por exemplo, se a distância entre A e B for 1 e entre B e C for raiz2, a distância entre A e C não será um número inteiro.
Portanto, a relação não garante a transitividade.

Resposta

A relação dada não é uma relação de equivalência, porque não satisfaz a propriedade da transitividade.

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