Encontre a área da região:
Dentro de r=1+cos theta e fora de r=2-cos theta

Passo 1

O enunciado pede para achar a área da região que, em coordenadas polares, está dentro de r=1+costheta e fora de r=2-costheta. O conteúdo usado será a fórmula da área em coordenadas polares, e vamos precisar determinar onde as duas curvas se interceptam para definir os limites em theta.

Passo 2

Para encontrar os limites angulares, igualamos as duas expressões de r:
1+costheta = 2-costheta
Isso leva a 2costheta=1, ou seja costheta=1/2, logo as interseções ocorrem em theta=pmpi/3.

Passo 3

Em cada theta entre -pi/3 e pi/3, a região de interesse satisfaz 2-costheta <= r <= 1+costheta. Usamos então a fórmula da área em coordenadas polares:
A = 12 integral-pi/3^pi/3 l[(1+costheta)^2 - (2-costheta)^2r] ,dtheta

Passo 4

Expandindo as potências, temos
(1+costheta)^2 = 1 + 2costheta + cos^2theta,
(2-costheta)^2 = 4 - 4costheta + cos^2theta
A diferença simplifica para
(1+costheta)^2 - (2-costheta)^2 = -3 + 6costheta

Passo 5

Agora integramos:
A = 12 integral-pi/3^pi/3 (-3 + 6costheta) ,dtheta = 12 l[ -3theta + 6sintheta r]-pi/3^pi/3
Substituindo os limites, obtemos
A = 12 l[(-pi + 3raiz3) - (pi - 3raiz3)r] = -pi + 3raiz3

Resposta

3raiz3 - pi

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