Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período T=2 L.
f(x)=ll1+x, & -1<x<0 1-x, & 0<x<1, f(x+2)=f(x).

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período
e pede a expansão em série de Fourier. Para isso precisamos usar as fórmulas, para período :

Passo 2

Note que f(-x)=f(x), pois para xin(0,1) vale
f(-x)=1- x=f(x)
Logo f é função par e todos os coeficientes bn são nulos.

Passo 3

Calcular a0:
a0=integral-1^1f(x),dx =integral-1^0(1+x),dx+integral0^1(1-x),dx =tfrac12+tfrac12=1

Passo 4

Como f é par,
an=2integral0^1f(x)cos(npi x),dx =2integral0^1(1-x)cos(npi x),dx

Passo 5

Separamos
integral0^1(1-x)cos(npi x),dx =integral0^1cos(npi x),dx -integral0^1xcos(npi x),dx
A primeira integral é zero pois sin(npi)=0. Na segunda, por partes, obtemos
integral0^1xcos(npi x),dx =(-1)^n-1n^2pi^2

Passo 6

Portanto
an =2l(0-(-1)^n-1n^2pi^2r) =2l(1-(-1)^nr)n^2pi^2
Isto dá an=0 para n par e an=tfrac4n^2pi^2 para n ímpar.

Passo 7

A série de Fourier final é
f(x)=a02+sumn=1^inftyancos(npi x) =12+sumk=0^infty4(2k+1)^2pi^2cosl((2k+1)pi xr)

Resposta

f(x)=12+4pi^2sumk=0^inftycosl((2k+1)pi xr)(2k+1)^2

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