Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}.
\mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{i}+z \mathbf{j}+x \mathbf{k}, S é o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, y \geqslant 0, orientado na direção do eixo positivo y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S} \bigl(\nabla\times \mathbf{F}\bigr)\cdot d\mathbf{S},
onde \mathbf{F}(x,y,z) = y\,\mathbf{i} + z\,\mathbf{j} + x\,\mathbf{k} e S é o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 com y\ge0, orientado para o eixo positivo y.
Como o Teorema de Stokes diz
\iint_{S} (\nabla\times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} =\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
vamos passar para a integral de linha ao longo da curva fronteira \partial S.

Passo 2

A curva \partial S é o círculo de interseção do hemisfério com o plano y=0, ou seja
x^{2}+z^{2}=1,\quad y=0.
Precisamos agora da orientação de \partial S. Como a normal de S tem componente positiva em y, olhamos para o plano y=0 a partir de y>0; desse ponto de vista, o contorno deve ser percorrido no sentido anti-horário.

Passo 3

Parametrizamos \partial S por
\mathbf{r}(t) = (\cos t,\,0,\,\sin t),\qquad t\in[0,2\pi].
Então
\mathbf{r}'(t) = (-\sin t,\,0,\,\cos t),
e
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) = \bigl(y,\,z,\,x\bigr) \bigl|_{(x,y,z)=(\cos t,0,\sin t)} = (0,\;\sin t,\;\cos t).
O produto escalar fica
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) =0\cdot(-\sin t)+\sin t\cdot0+\cos t\cdot\cos t =\cos^{2}t.

Passo 4

Portanto a integral de linha é
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt.
Usando \cos^{2}t=\tfrac{1+\cos2t}{2}, temos
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt =\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos2t}{2}\,dt =\frac12\Bigl[\,t+\tfrac{\sin2t}{2}\Bigr]_{0}^{2\pi} =\frac12\bigl(2\pi-0\bigr) =\pi.
Pelo Teorema de Stokes, esse é o valor da integral de superfície desejada.

Resposta

\pi

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