Questão 5 (2 pontos)
Quais números inteiros deixam restos 2,3 e 2 quando divididos, respectivamente, por 3,5 e 7 ?

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros x tais que
\begin{cases} x\equiv2\pmod{3},\\\ x\equiv3\pmod{5},\\\ x\equiv2\pmod{7}. \end{cases}
Isso é um problema de CRT (Teorema Chinês dos Restos).

Passo 2

Primeiro usamos a congruência x\equiv2\pmod{3}. Escrevemos x=3k+2 para algum inteiro k. Em seguida impomos a condição x\equiv3\pmod{5}:
3k+2\equiv3\pmod{5}\quad\Longrightarrow\quad3k\equiv1\pmod{5}.
Como o inverso de 3 em \mathbb{Z}_5 é 2, obtemos k\equiv2\pmod{5}, ou seja, k=5m+2.

Passo 3

Substituindo k=5m+2 em x=3k+2
x=3(5m+2)+2=15m+8.
Agora aplicamos x\equiv2\pmod{7}:
15m+8\equiv2\pmod{7}\quad\Longrightarrow\quad15m\equiv-6\equiv1\pmod{7}.
Como 15\equiv1\pmod{7}, resulta m\equiv1\pmod{7}, ou seja, m=7n+1.

Passo 4

Substituindo m=7n+1 em x=15m+8 temos
x=15(7n+1)+8=105n+23,
com n\in\mathbb{Z}. Assim todos os inteiros que satisfazem as três condições são da forma x=105n+23.

Resposta

A solução geral é
x=105n+23,\quad n\in\mathbb{Z}.

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