Questão 4 (2 pontos)
i) Determine o conjunto
dos elementos invertíveis em
.
ii) Seja
. Prove que se
e
, então
.
i) Determine o conjunto
ii) Seja
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
i) Encontrar o conjunto dos elementos de
que têm inverso multiplicativo.
ii) Para ,
, provar que se
e
i) Encontrar o conjunto
ii) Para
então necessariamente
.
Conteúdo envolvido: anel , unidade em anel, critério
, existência de inverso e lei de cancelamento.
Conteúdo envolvido: anel
Passo 2
Definição de unidade em
:
Um elemento é invertível (ou unidade) se existe
tal que
Um elemento
Teorema padrão:
Passo 3
Aplicando para
, procuramos
tais que
.
Os valores de que satisfazem são
Os valores de
pois nenhum deles tem fator comum com
além de
. Logo
Passo 4
Agora a parte da prova: suponha
e
.
Como é invertível, existe
tal que
Como
Multiplicando a igualdade
à esquerda por
, obtemos
Isso conclui a prova: se um elemento invertível anula algum fator, o outro fator precisa ser o zero.
Resposta
i)
ii) Multiplicando pela inversa de
chega-se a
, conforme demonstrado.
ii) Multiplicando