Questão 4 (2 pontos)
i) Determine o conjunto \mathcal{U}\left(\mathbb{Z}_{10}\right) dos elementos invertíveis em \mathbb{Z}_{10}.
ii) Seja m \in \mathbb{N}, m>1. Prove que se [a] \in \mathcal{U}\left(\mathbb{Z}_{m}\right) e [a] \cdot[b]=[0], então [b]=[0].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
i) Encontrar o conjunto \mathcal{U}(\mathbb{Z}_{10}) dos elementos de \mathbb{Z}_{10} que têm inverso multiplicativo.
ii) Para m\in\mathbb{N}, m>1, provar que se [a]\in\mathcal{U}(\mathbb{Z}_{m}) e
[a]\cdot[b]=[0]\text{ em }\mathbb{Z}_{m},
então necessariamente [b]=[0].
Conteúdo envolvido: anel \mathbb{Z}_{m}, unidade em anel, critério \gcd(a,m)=1, existência de inverso e lei de cancelamento.

Passo 2

Definição de unidade em \mathbb{Z}_{m}:
Um elemento [a]\in\mathbb{Z}_{m} é invertível (ou unidade) se existe [x]\in\mathbb{Z}_{m} tal que
[a]\cdot[x]=[1].
Teorema padrão:
[a]\text{ é unidade em }\mathbb{Z}_{m}\quad\Longleftrightarrow\quad\gcd(a,m)=1.é

Passo 3

Aplicando para m=10, procuramos a\in\{0,1,2,\dots,9\} tais que \gcd(a,10)=1.
Os valores de a que satisfazem são
1,\;3,\;7,\;9,
pois nenhum deles tem fator comum com 10=2\cdot5 além de 1. Logo
\mathcal{U}(\mathbb{Z}_{10})=\{[1],[3],[7],[9]\}.

Passo 4

Agora a parte da prova: suponha [a]\in\mathcal{U}(\mathbb{Z}_{m}) e [a]\cdot[b]=[0].
Como [a] é invertível, existe [a]^{-1} tal que
[a]^{-1}\cdot[a]=[1].
Multiplicando a igualdade [a]\cdot[b]=[0] à esquerda por [a]^{-1}, obtemos
[a]^{-1}\bigl([a]\cdot[b]\bigr)=[a]^{-1}\cdot[0] \quad\Longrightarrow\quad \bigl([a]^{-1}\cdot[a]\bigr)\cdot[b]=[0] \quad\Longrightarrow\quad [1]\cdot[b]=[0] \quad\Longrightarrow\quad [b]=[0].
Isso conclui a prova: se um elemento invertível anula algum fator, o outro fator precisa ser o zero.

Resposta

i) \displaystyle \mathcal{U}(\mathbb{Z}_{10})=\{[1],[3],[7],[9]\}.
ii) Multiplicando [a]\cdot[b]=[0] pela inversa de [a] chega-se a [b]=[0], conforme demonstrado.

Exercícios relacionados