Questão 3. (4.0 pontos) Obtenha a distância do ponto Q=(1,1,1) à reta que passa pelo ponto P=(-1,1,-1) e é paralela ao vetor V=(1,1,2).

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto Q=(1,1,1) à reta que passa por P=(-1,1,-1) e tem vetor diretor V=(1,1,2). O conteúdo é geometria analítica em R^3 e usaremos a fórmula
d=|PQtimes V||V|
para calcular essa distância.

Passo 2

Calculamos o vetor PQ=Q-P:
PQ=(1-(-1),,1-1,,1-(-1))=(2,0,2)

Passo 3

Fazemos o produto vetorial PQtimes V. Com
PQ=(2,0,2), V=(1,1,2),
temos
PQtimes V =deti&j&k2&0&21&1&2 =(-2,,-2,,2)

Passo 4

Agora a norma do produto vetorial e a norma de V:
|PQtimes V| =raiz(-2)^2+(-2)^2+2^2 =raiz12=2raiz3,
|V| =raiz1^2+1^2+2^2 =raiz6

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
d=|PQtimes V||V| =2raiz3raiz6 =2raiztfrac36 =2raiztfrac12 =raiz2

Resposta

A distância de Q à reta é raiz2.

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