Verifique se (
) é um subcorpo de (
) em cada um dos seguintes casos:
a)
(OBS.:
é um subcorpo de
quando ambos são corpos e
)
a)
(OBS.:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subcorpo de
. Para isso precisamos checar que, em relação às operações herdadas de
, o conjunto
satisfaz:
- Contém as identidades aditiva e multiplicativa.
- É fechado sob soma, inverso aditivo e produto.
- Todo elemento não nulo de
tem inverso multiplicativo em .
Passo 2
Verificamos identidade aditiva e fechamento em soma e inverso aditivo.
- A identidade aditiva em
é , e em corresponde a , logo . - Se
e estão em , então
com
, logo
.
- O inverso aditivo de
é , e como temos .
Passo 3
Verificamos fechamento em produto e identidade multiplicativa.
- A identidade multiplicativa em
é , que em é , logo . - Para
e em ,
e como
e
são inteiros, temos
.
Passo 4
Checamos agora inverso multiplicativo de um elemento genérico
não nulo. Em
vale
Para que
pertença a
, os coeficientes
e
teriam que ser inteiros. Isso nem sempre ocorre.
Passo 5
Basta um contraexemplo. Tome
. Então
e
e
não são inteiros, logo
.