Verifique se ( S,+, cdot ) é um subcorpo de ( R,+, cdot ) em cada um dos seguintes casos:
a) S=a+b raiz3 mid a, b in Z
(OBS.: S é um subcorpo de K quando ambos são corpos e S subset K )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se S=a+braiz3mid a,binZ é subcorpo de R. Para isso precisamos checar que, em relação às operações herdadas de R, o conjunto S satisfaz:
  1. Contém as identidades aditiva e multiplicativa.
  2. É fechado sob soma, inverso aditivo e produto.
  3. Todo elemento não nulo de S tem inverso multiplicativo em S.

Passo 2

Verificamos identidade aditiva e fechamento em soma e inverso aditivo.
  • A identidade aditiva em R é 0, e em S corresponde a 0+0raiz3, logo 0in S.
  • Se x=a+braiz3 e y=c+draiz3 estão em S, então
x+y=(a+c)+(b+d)raiz3,
com a+c,b+dinZ, logo x+yin S.
  • O inverso aditivo de x=a+braiz3 é -x=(-a)+(-b)raiz3, e como -a,-binZ temos -xin S.

Passo 3

Verificamos fechamento em produto e identidade multiplicativa.
  • A identidade multiplicativa em R é 1, que em S é 1+0raiz3, logo 1in S.
  • Para x=a+braiz3 e y=c+draiz3 em S,
xcdot y = (a+braiz3)(c+draiz3) = (ac+3bd)+(ad+bc)raiz3,
e como ac+3bd e ad+bc são inteiros, temos xcdot yin S.

Passo 4

Checamos agora inverso multiplicativo de um elemento genérico x=a+braiz3 não nulo. Em R vale
x^-1 = 1a+braiz3 = a-braiz3a^2-3b^2 = aa^2-3b^2 ;+; -ba^2-3b^2,raiz3
Para que x^-1 pertença a S, os coeficientes tfracaa^2-3b^2 e tfrac-ba^2-3b^2 teriam que ser inteiros. Isso nem sempre ocorre.

Passo 5

Basta um contraexemplo. Tome x=1+raiz3. Então
x^-1 = 1-raiz31^2-3cdot1^2 = 1-raiz3-2 = -tfrac12 + tfrac12raiz3,
e -tfrac12 e tfrac12 não são inteiros, logo x^-1notin S.

Resposta

S não é subcorpo de R, pois nem todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo em S.

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