Verifique se (
) é um subcorpo de (
) em cada um dos seguintes casos:
b)
(OBS.:
é um subcorpo de
quando ambos são corpos e
)
b)
(OBS.:
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é subcorpo de
. Para isso precisamos olhar na definição de subcorpo: um subconjunto
é subcorpo se contém
e
, é fechado em soma e produto e contém inversos aditivo e multiplicativo (para todos os não nulos).
Passo 2
Vejamos primeiro a parte aditiva. Se
com
, então
e
Como
,
,
,
estão em
, concluímos que
,
e
. Logo
é subgrupo aditivo de
.
Passo 3
Para ser subcorpo precisamos que
. Suponha, por contradição, que exista
tais que
Mas sabe-se que os números
são linearmente independentes sobre
. Logo a única solução racional de
seria
, o que daria
, absurdo. Portanto
Passo 4
Mesmo sem precisar, notamos também falha na clausura multiplicativa. Tomando
temos
O termo constante
e o coeficiente de
geralmente não podem ser escritos como
com
, pois
é base de
sobre
. Logo em geral
.