Verifique se ( S,+, cdot ) é um subcorpo de ( R,+, cdot ) em cada um dos seguintes casos:
b) S=a raiz2+b raiz3 mid a, b in Q
(OBS.: S é um subcorpo de K quando ambos são corpos e S subset K )

Passo 1

O enunciado define
S = araiz2 + braiz3 mid a,binQ
e pede para verificar se S é subcorpo de (R,+,cdot). Para isso precisamos olhar na definição de subcorpo: um subconjunto SsubsetR é subcorpo se contém 0 e 1, é fechado em soma e produto e contém inversos aditivo e multiplicativo (para todos os não nulos).

Passo 2

Vejamos primeiro a parte aditiva. Se
x=araiz2 + braiz3, y=craiz2 + draiz3
com a,b,c,dinQ, então
x+y = (a+c)raiz2 + (b+d)raiz3
e
-x = (-a)raiz2 + (-b)raiz3
Como (a+c), (b+d), -a, -b estão em Q, concluímos que 0in S, x+yin S e -xin S. Logo S é subgrupo aditivo de R.

Passo 3

Para ser subcorpo precisamos que 1in S. Suponha, por contradição, que exista a,binQ tais que
1 = araiz2 + braiz3
Mas sabe-se que os números 1,raiz2,raiz3 são linearmente independentes sobre Q. Logo a única solução racional de araiz2 + braiz3=1 seria a=b=0, o que daria 1=0, absurdo. Portanto
1notin S

Passo 4

Mesmo sem precisar, notamos também falha na clausura multiplicativa. Tomando
x=araiz2 + braiz3, y=craiz2 + draiz3,
temos
xy = 2ac + 3bd ;+;(ad+bc)raiz6
O termo constante 2ac+3bd e o coeficiente de raiz6 geralmente não podem ser escritos como eraiz2+fraiz3 com e,finQ, pois 1,raiz2,raiz3,raiz6 é base de Q(raiz2,raiz3) sobre Q. Logo em geral xynotin S.

Resposta

S não é subcorpo de R.

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