Questão 4 ( 1,5 pontos) Uma onda senoidal desloca-se ao longo de uma corda. O tempo necessário para um determinado ponto se mover de um deslocamento máximo para zero é 0,17 s. Calcule:
a velocidade e aceleraçâo transversais máximas, se a amplitude é de 2,0 m.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma onda senoidal que se move numa corda, e sabe que o tempo que um ponto leva pra ir do deslocamento máximo até zero é de 0,17 s. A amplitude dessa onda é de 2,0 m. A gente precisa calcular:
  • A velocidade transversal máxima ( vmax)
  • A aceleração transversal máxima ( amax)

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que numa onda senoidal, o deslocamento y em função do tempo t pode ser descrito por:
y = A sin(omega t + phi)
Onde:
  • A é a amplitude
  • omega é a frequência angular
  • phi é a fase inicial

Passo 3

A velocidade transversal v é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
v = dydt = A omega cos(omega t + phi)
A velocidade máxima ocorre quando o cosseno é 1, então:
vmax = A omega

Passo 4

A aceleração transversal a é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt = -A omega^2 sin(omega t + phi)
A aceleração máxima ocorre quando o seno é 1, então:
amax = A omega^2

Passo 5

Sabemos que o tempo para ir do deslocamento máximo até zero é 0,17 s. Isso corresponde a um quarto do período da onda ( T/4). Então, o período T é:
T = 4 times 0,17 s = 0,68 s

Passo 6

A frequência f é o inverso do período:
f = 1T = 10,68 s approx 1,47 Hz

Passo 7

Agora, calculamos a frequência angular omega:
omega = 2pi f = 2pi times 1,47 Hz approx 9,24 rad/s

Passo 8

Com omega calculado, vamos achar a velocidade máxima:
vmax = A omega = 2,0 m times 9,24 rad/s = 18,48 m/s

Passo 9

E a aceleração máxima:
amax = A omega^2 = 2,0 m times (9,24 rad/s)^2 approx 2,0 times 85,42 m/s^2 = 170,84 m/s^2

Resposta

A velocidade transversal máxima é aproximadamente 18,48 m/s e a aceleração transversal máxima é aproximadamente 170,84 m/s^2.

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