Duas crianças de massas diferentes estão brincando em um gira-gira de playground. A criança mais pesada está sentada próxima ao centro do gira-gira, enquanto a criança mais leve está sentada na borda. (a) Como a posição das crianças afeta o momento de inércia do sistema?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas crianças com massas diferentes brincando em um gira-gira. A criança mais pesada está mais perto do centro, e a mais leve está na borda. O que precisamos entender aqui é o momento de inércia, que é uma medida de quão difícil é mudar o movimento de rotação de um objeto. Para resolver, vamos ver como a posição das crianças influencia esse momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Ele depende de duas coisas principais: a massa de cada objeto e a distância desse objeto ao centro de rotação (no caso, o eixo do gira-gira). A fórmula básica para calcular o momento de inércia $ I $ de cada objeto é:
Onde:
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ r $ é a distância do objeto ao eixo de rotação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso às duas crianças. A criança mais pesada tem uma massa maior $ (m_1) $ e está mais perto do centro, ou seja, tem uma distância menor $ (r_1) $. Já a criança mais leve tem uma massa menor $ (m_2) $ e está na borda, com uma distância maior $ (r_2) $.
Passo 4
Para encontrar o momento de inércia total do sistema (as duas crianças no gira-gira), somamos os momentos de cada uma:
Passo 5
Observando a fórmula, vemos que mesmo que a criança mais pesada tenha uma $ m_1 $ maior, sua $ r_1 $ menor reduz o valor de $ m_1 \times r_1^2 $. Por outro lado, a criança mais leve, apesar de ter $ m_2 $ menor, por estar mais longe, a $ r_2 $ maior aumenta o valor de $ m_2 \times r_2^2 $.
Resposta
Então, a posição das crianças afeta o momento de inércia do sistema porque a distância de cada criança ao centro de rotação altera a contribuição de sua massa ao momento total. A criança mais leve, estando mais afastada, aumenta mais o momento de inércia do que a criança mais pesada diminuí-loia por estar mais próxima do centro. Isso significa que a distribuição das massas em diferentes posições influencia diretamente na resistência do gira-gira a mudanças em seu movimento rotacional.