17- A PALAVRA “MATEMATICAMENTE” TEM QUANTOS ANAGRAMAS SEM REPETIÇÕES.
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas distintos (ou seja, quantas permutações diferentes sem repetições iguais) podem ser formados com as letras da palavra “MATEMATICAMENTE”. A palavra dada é:
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicado devagarzinho).
- Se temos
objetos distintos, o número de permutações é (fatorial de ). Aqui significa . - Se houver repetições: suponha que entre os
objetos há tipos distintos e o tipo aparece vezes ( ) e . Então o número de permutações distintas é
- Explicando as variáveis:
é o total de letras; cada é a quantidade de ocorrências de uma letra específica; o denominador corrige as permutações que se repetiriam por causa das letras idênticas. - Exemplo bem simples para fixar: com as letras de
temos , com para o e para o . Então o número de anagramas distintos é
que correspondem a
. Isso mostra por que dividimos pelo fatorial das repetições.
Passo 3
Agora aplicamos isso à palavra dada. Primeiro contamos quantas letras e quantas vezes cada letra aparece. Escrevendo as letras em ordem de ocorrência:
(são
letras no total).
Contagem de cada letra (contagem explícita, nada é assumido):
Contagem de cada letra (contagem explícita, nada é assumido):
-
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparece vez. -
aparece vez. -
aparece vez.
Portanto
e os blocos de repetições são
.
Passo 4
Aplicando a fórmula das permutações com repetições:
Observação:
não altera nada, por isso foi colocada só para ficar claro de onde vem cada termo.
Passo 5
Agora vamos calcular o valor numérico sem usar calculadora, fazendo uma simplificação por fatoração em primos. Primeiro escrevemos a fatoração primária de
. Para cada primo
a multiplicidade em
é
.
- Para
: . Logo . - Para
: . Logo . - Para
: . Logo . - Para
: . Logo . - Para
: . Para : .
Portanto
Passo 6
O denominador
é
. Como
, temos
Dividindo os fatores primos de
por
obtemos os fatores restantes:
- potência de
: dando , - potência de
: dando ,
e os demais primos permanecem com as mesmas potências. Logo o resultado simplificado é
Passo 7
Agora multiplicamos esses fatores passo a passo (fazível sem calculadora se organizarmos bem):
Multiplicando em ordem confortável:
Passo 8
Conclusão: o número de anagramas distintos da palavra
é