17- A PALAVRA “MATEMATICAMENTE” TEM QUANTOS ANAGRAMAS SEM REPETIÇÕES.

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas distintos (ou seja, quantas permutações diferentes sem repetições iguais) podem ser formados com as letras da palavra “MATEMATICAMENTE”. A palavra dada é: \text{MATEMATICAMENTE}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado devagarzinho).
  • Se temos n objetos distintos, o número de permutações é n! (fatorial de n). Aqui n! significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
  • Se houver repetições: suponha que entre os n objetos há k tipos distintos e o tipo i aparece n_i vezes ( i=1,\dots,k) e \sum_{i=1}^{k} n_i = n. Então o número de permutações distintas é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!}.
  • Explicando as variáveis: n é o total de letras; cada n_i é a quantidade de ocorrências de uma letra específica; o denominador corrige as permutações que se repetiriam por causa das letras idênticas.
  • Exemplo bem simples para fixar: com as letras de \text{AAB} temos n=3, com n_1=2 para o A e n_2=1 para o B. Então o número de anagramas distintos é
\frac{3!}{2!1!}=\frac{6}{2}=3,
que correspondem a \text{AAB},\\ \text{ABA},\\ \text{BAA}. Isso mostra por que dividimos pelo fatorial das repetições.

Passo 3

Agora aplicamos isso à palavra dada. Primeiro contamos quantas letras e quantas vezes cada letra aparece. Escrevendo as letras em ordem de ocorrência:
\text{M A T E M A T I C A M E N T E} (são 15 letras no total).
Contagem de cada letra (contagem explícita, nada é assumido):
  • \text{A} aparece 3 vezes.
  • \text{M} aparece 3 vezes.
  • \text{T} aparece 3 vezes.
  • \text{E} aparece 3 vezes.
  • \text{C} aparece 1 vez.
  • \text{I} aparece 1 vez.
  • \text{N} aparece 1 vez.
Portanto n=15 e os blocos de repetições são 3,3,3,3,1,1,1.

Passo 4

Aplicando a fórmula das permutações com repetições:
\text{nº de anagramas}=\frac{15!}{3!\,3!\,3!\,3!\,1!\,1!\,1!}=\frac{15!}{(3!)^{4}}.º
Observação: 1!=1 não altera nada, por isso foi colocada só para ficar claro de onde vem cada termo.

Passo 5

Agora vamos calcular o valor numérico sem usar calculadora, fazendo uma simplificação por fatoração em primos. Primeiro escrevemos a fatoração primária de 15!. Para cada primo p a multiplicidade em 15! é \sum_{j\ge1}\left\lfloor \dfrac{15}{p^j}\right\rfloor.
  • Para 2: \left\lfloor\dfrac{15}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{15}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{15}{8}\right\rfloor=7+3+1=11. Logo 2^{11}.
  • Para 3: \left\lfloor\dfrac{15}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{15}{9}\right\rfloor=5+1=6. Logo 3^{6}.
  • Para 5: \left\lfloor\dfrac{15}{5}\right\rfloor=3. Logo 5^{3}.
  • Para 7: \left\lfloor\dfrac{15}{7}\right\rfloor=2. Logo 7^{2}.
  • Para 11: 1. Para 13: 1.
Portanto
15!=2^{11}\,3^{6}\,5^{3}\,7^{2}\,11\,13.

Passo 6

O denominador (3!)^{4} é (6)^{4}. Como 6=2\cdot3, temos
(3!)^{4}=6^{4}=2^{4}\,3^{4}.
Dividindo os fatores primos de 15! por 2^{4}3^{4} obtemos os fatores restantes:
  • potência de 2: 11-4=7 dando 2^{7},
  • potência de 3: 6-4=2 dando 3^{2},
    e os demais primos permanecem com as mesmas potências. Logo o resultado simplificado é
\frac{15!}{(3!)^{4}}=2^{7}\,3^{2}\,5^{3}\,7^{2}\,11\,13.

Passo 7

Agora multiplicamos esses fatores passo a passo (fazível sem calculadora se organizarmos bem):
2^{7}=128,\qquad 3^{2}=9,\qquad 5^{3}=125,\qquad 7^{2}=49.
Multiplicando em ordem confortável:
128\cdot 9 = 1152,
1152\cdot 125 = 1152\cdot(100+25)=115200+28800=144000,
144000\cdot 49 = 144000\cdot(50-1)=7{,}200{,}000-144{,}000=7{,}056{,}000,
7{,}056{,}000\cdot 11 = 77{,}616{,}000,
77{,}616{,}000\cdot 13 = 776{,}160{,}000 + 232{,}848{,}000 = 1{,}009{,}008{,}000.

Passo 8

Conclusão: o número de anagramas distintos da palavra \text{MATEMATICAMENTE} é
1{,}009{,}008{,}000.

Resposta

1{,}009{,}008{,}000

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