Seja a=4 i-3 j+K e b=5 i-2 j-3 k. Seja c=a \times b.
a) encontre \mathbf{c}, e o expresse usando vetores unitários;
b) encontre o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{a}=4\mathbf{i}-3\mathbf{j}+\mathbf{k}
e \mathbf{b}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}-3\mathbf{k}
e pede:
  1. O produto vetorial \mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}, expresso em \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.
  2. O ângulo \theta entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
Para resolver, vamos usar:
  • Definição de produto vetorial via determinante.
  • Definição de produto escalar e norma para achar o ângulo pelo cosseno.

Passo 2

Calcular \mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b} por determinante:
\mathbf{c} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 4 & -3 & 1\\\\ 5 & -2 & -3 \end{vmatrix} =\mathbf{i}\bigl((-3)(-3)-1\cdot(-2)\bigr) -\mathbf{j}\bigl(4\cdot(-3)-1\cdot5\bigr) +\mathbf{k}\bigl(4\cdot(-2)-(-3)\cdot5\bigr).
Fazendo as contas:
\mathbf{c}=(9+2)\,\mathbf{i}-( -12-5)\,\mathbf{j}+(-8+15)\,\mathbf{k} =11\,\mathbf{i}+17\,\mathbf{j}+7\,\mathbf{k}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} e as normas \|\mathbf{a}\|, \|\mathbf{b}\|:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =4\cdot5+(-3)\cdot(-2)+1\cdot(-3) =20+6-3=23,
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{4^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{16+9+1}=\sqrt{26}, \quad \|\mathbf{b}\|=\sqrt{5^2+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{25+4+9}=\sqrt{38}.

Passo 4

O ângulo \theta satisfaz
\cos\theta =\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|} =\frac{23}{\sqrt{26}\,\sqrt{38}} =\frac{23}{\sqrt{988}} =\frac{23}{2\sqrt{247}}.
Portanto
\theta=\operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{23}{2\sqrt{247}}\biggr)\approx 43{,}1^\circ.

Resposta

(a) \mathbf{c}=11\,\mathbf{i}+17\,\mathbf{j}+7\,\mathbf{k}.
(b) \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{23}{2\sqrt{247}}\bigr)\approx 43{,}1^\circ.

Exercícios relacionados