Questão 1 ( 2,5 pontos) - Numa padaria, a quantidade de farinha de trigo utilizada semanalmente é uma variável aleatória com distribuição normal, com valor médio 600kg e desvio padrão 40kg. Havendo durante a semana: no início de uma determinada semana um estoque de 634 kg e não sendo possível receber mais farinha
a) Determine a probabilidade do estoque de farinha ser superado.
b) Qual deveria ser o estoque, de modo que a probabilidade de superação fosse 1 \% ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informação dada:
    • A quantidade semanal de farinha é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu = 600 kg e desvio padrão \sigma = 40 kg.
    • No início da semana há um estoque de 634 kg e não é possível receber mais farinha durante a semana.
  • Perguntas:
    • (a) Determine a probabilidade do estoque de farinha ser superado (ou seja, a probabilidade de que o consumo semanal exceda 634 kg).
    • (b) Qual deveria ser o estoque s, de modo que a probabilidade de superação fosse 1\% (ou seja, P(\text{consumo} > s)=0,01).

Passo 2

Entendendo o que significa “variável com distribuição normal” e como calcular probabilidades.
  • Uma variável aleatória com distribuição normal é totalmente descrita pela média \mu e pelo desvio padrão \sigma. Aqui a variável (chamei de X) representa o consumo semanal em kg, então temos X \sim N(\mu,\sigma^2) com \mu=600 e \sigma=40.
  • Para calcular probabilidades do tipo P(X > x_0) usamos a padronização para transformar X numa variável normal padrão Z com média 0 e desvio 1. A fórmula de padronização é
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Depois da padronização, procuramos valores da função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por \Phi(z)=P(Z \le z). Assim
P(X > x_0) = P\!\left(Z > \frac{x_0-\mu}{\sigma}\right) = 1 - \Phi\!\left(\frac{x_0-\mu}{\sigma}\right).
  • Para encontrar quantis (como o valor s tal que P(X>s)=0,01) usamos o inverso: se P(X \le s)=0,99 então
s = \mu + z_{0,99}\,\sigma,
onde z_{0,99} é o quantil da normal padrão tal que \Phi(z_{0,99})=0,99.
Vou aplicar isso passo a passo ao problema. Força aí — já estamos na metade do caminho.

Passo 3

Calcular a probabilidade do estoque de 634 kg ser superado (parte a).
  • Padronizo x_0=634:
z = \frac{634-600}{40} = \frac{34}{40} = 0,85.
  • Então
P(X>634) = P(Z>0,85) = 1 - \Phi(0,85).
  • Consultando a tabela da normal padrão (ou calculadora), \Phi(0,85)\approx 0,8023. Logo
P(X>634) = 1 - 0,8023 = 0,1977.
  • Em percentual, isso é cerca de 19,77\%. Interpretação rápida: em aproximadamente 1 semana a cada 5 o consumo vai ultrapassar o estoque de 634 kg — por isso é razoável preocupar-se com reposição.

Passo 4

Agora vamos fazer a parte (b): achar o estoque s tal que P(X>s)=0,01.
  • Escrevemos a condição em termos da distribuição acumulada:
P(X>s)=0,01 \quad\Longrightarrow\quad P(X\le s)=0,99.
  • Em termos do quantil da normal padrão:
s = \mu + z_{0,99}\,\sigma.
  • O valor tabelado do quantil é aproximadamente z_{0,99}\approx 2,3263 (porque \Phi(2,3263)\approx 0,99).
  • Substituindo os valores:
s = 600 + 2,3263\cdot 40 = 600 + 93,052 = 693,052.
  • Arredondando razoavelmente, s \approx 693,05 kg. Na prática, se o estoque tem que ser um número inteiro de kg e se quiser garantir que a probabilidade de falta seja no máximo 1\%, é prudente arredondar para cima e manter pelo menos 694 kg.

Passo 5

Recapitulando e reforçando a interpretação (breve aula prática para a prova):
  • Para calcular P(X>x_0) com X\sim N(\mu,\sigma^2):
    1. Calcule z=(x_0-\mu)/\sigma.
    2. Use \Phi(z) para obter P(Z\le z).
    3. Então P(X>x_0)=1-\Phi(z).
  • Para achar s tal que P(X>s)=\alpha:
    1. Encontre z_{1-\alpha} tal que \Phi(z_{1-\alpha})=1-\alpha.
    2. Calcule s=\mu+z_{1-\alpha}\sigma.
  • Essas duas receitas são padrão e rápidas de usar na prova: memorizando a fórmula de padronização e sabendo consultar a tabela da normal padrão já resolve a maior parte dos exercícios desse tipo.

Resposta

a) P(X>634)=0,1977 (aprox. 19,77\%).
b) s\approx 693,05\\ \text{kg} (praticamente, mínimo de 694\\ \text{kg} se for necessário arredondar para inteiro).

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