Questão 1 ( 2,5 pontos) - Numa padaria, a quantidade de farinha de trigo utilizada semanalmente é uma variável aleatória com distribuição normal, com valor médio 600kg e desvio padrão 40kg. Havendo durante a semana: no início de uma determinada semana um estoque de 634 kg e não sendo possível receber mais farinha
a) Determine a probabilidade do estoque de farinha ser superado.
b) Qual deveria ser o estoque, de modo que a probabilidade de superação fosse
?
a) Determine a probabilidade do estoque de farinha ser superado.
b) Qual deveria ser o estoque, de modo que a probabilidade de superação fosse
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Informação dada:
- A quantidade semanal de farinha é uma variável aleatória com distribuição normal de média
kg e desvio padrão kg. - No início da semana há um estoque de
kg e não é possível receber mais farinha durante a semana.
- A quantidade semanal de farinha é uma variável aleatória com distribuição normal de média
- Perguntas:
- (a) Determine a probabilidade do estoque de farinha ser superado (ou seja, a probabilidade de que o consumo semanal exceda
kg). - (b) Qual deveria ser o estoque
, de modo que a probabilidade de superação fosse (ou seja, ).
- (a) Determine a probabilidade do estoque de farinha ser superado (ou seja, a probabilidade de que o consumo semanal exceda
Passo 2
Entendendo o que significa “variável com distribuição normal” e como calcular probabilidades.
- Uma variável aleatória com distribuição normal é totalmente descrita pela média
e pelo desvio padrão . Aqui a variável (chamei de ) representa o consumo semanal em kg, então temos com e . - Para calcular probabilidades do tipo
usamos a padronização para transformar numa variável normal padrão com média e desvio . A fórmula de padronização é
- Depois da padronização, procuramos valores da função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por
. Assim
- Para encontrar quantis (como o valor
tal que ) usamos o inverso: se então
onde
é o quantil da normal padrão tal que
.
Vou aplicar isso passo a passo ao problema. Força aí — já estamos na metade do caminho.
Passo 3
Calcular a probabilidade do estoque de
kg ser superado (parte a).
- Padronizo
:
- Então
- Consultando a tabela da normal padrão (ou calculadora),
. Logo
- Em percentual, isso é cerca de
. Interpretação rápida: em aproximadamente 1 semana a cada 5 o consumo vai ultrapassar o estoque de kg — por isso é razoável preocupar-se com reposição.
Passo 4
Agora vamos fazer a parte (b): achar o estoque
tal que
.
- Escrevemos a condição em termos da distribuição acumulada:
- Em termos do quantil da normal padrão:
- O valor tabelado do quantil é aproximadamente
(porque ). - Substituindo os valores:
- Arredondando razoavelmente,
kg. Na prática, se o estoque tem que ser um número inteiro de kg e se quiser garantir que a probabilidade de falta seja no máximo , é prudente arredondar para cima e manter pelo menos kg.
Passo 5
Recapitulando e reforçando a interpretação (breve aula prática para a prova):
- Para calcular
com : - Calcule
. - Use
para obter . - Então
.
- Calcule
- Para achar
tal que : - Encontre
tal que . - Calcule
.
- Encontre
- Essas duas receitas são padrão e rápidas de usar na prova: memorizando a fórmula de padronização e sabendo consultar a tabela da normal padrão já resolve a maior parte dos exercícios desse tipo.
Resposta
a)
(aprox.
).
b) (praticamente, mínimo de
se for necessário arredondar para inteiro).
b)