O que são medidas separatrizes?
São valores que dividem um conjunto de dados em partes iguais, ajudando a identificar a posição relativa dos dados em uma distribuição.
  • Quartis (Q): três medidas que dividem os dados em 4 partes → Q1, Q2 (mediana), Q3.
  • Decis (D): nove medidas que dividem os dados em 10 partes → D1, D2, …, D9.
  • Percentis §: 99 medidas que dividem os dados em 100 partes \rightarrow \mathrm{P} 1, \mathrm{P} 2, \ldots, \mathrm{P} 99.
Essas medidas permitem localizar e interpretar valores dentro da distribuição de dados.

Passo 1

O que o enunciado pergunta e o que já foi dado: você quer entender o que são medidas separatrizes. O enunciado já listou três famílias principais:
  • Quartis: Q_1,\;Q_2,\;Q_3.
  • Decis: D_1,\dots,D_9.
  • Percentis: P_1,\dots,P_{99}.
O pedido implícito é: explicar claramente o que essas medidas representam, como calculá‑las passo a passo (do jeito que dá para fazer na prova sem depender de software) e como interpretá‑las na prática.

Passo 2

Definição e ideia intuitiva (sem fórmulas ainda).
Medidas separatrizes são números que “cortam” uma lista ordenada de dados em partes iguais. Serve para localizar a posição relativa de um valor dentro da distribuição. Exemplos em palavras:
  • O Q_2 (mediana) é o valor que deixa metade dos dados abaixo e metade acima.
  • O Q_1 é o valor que deixa 25\% dos dados abaixo e 75\% acima.
  • O D_k é o valor que deixa k\cdot10\% dos dados abaixo.
  • O P_k é o valor que deixa k\% dos dados abaixo.
Essas medidas dizem mais sobre posição do que sobre “média”: mostram onde os dados se concentram, se há assimetria e ajudam a detectar outliers.

Passo 3

Como proceder em prova — passo a passo básico para calcular uma separatriz a partir de uma amostra de dados finita (método por posição com interpolação, fácil de usar à mão):
  1. Ordene os dados em ordem crescente.
  2. Conte n, o número total de observações.
  3. Para um percentil P_k (ou para um decis D_k com k\cdot10\%, ou quartil que é P_{25},P_{50},P_{75}) calcule a posição
L=\frac{k}{100}\,(n+1),
onde k é a porcentagem desejada (por ex. k=25 para Q_1, k=50 para Q_2, k=90 para P_{90}).
4. Interpretação de L:
  • Se L for inteiro, a separatriz é o valor na posição L.
  • Se L não for inteiro, escreva L=m+\delta com m=\lfloor L\rfloor e \delta\in(0,1). Então a separatriz é obtida por interpolação entre o m-ésimo e o (m+1)-ésimo valor:
\text{Separatriz} = x_{(m)} + \delta\cdot\bigl(x_{(m+1)}-x_{(m)}\bigr).
Aqui x_{(i)} denota o i-ésimo valor na amostra ordenada.
5. Observação: existe outro método comum chamado “método do posto” (nearest rank) que usa
L'=\left\lceil\frac{k\,n}{100}\right\rceil
e toma o valor na posição L' sem interpolar. É mais simples, mas menos preciso quando n é pequeno. Em prova, se não disserem o método, use o método com (n+1) e interpolação (é o que ensinamos aqui porque é intuitivo e dá valores intermediários quando necessário).

Passo 4

Exemplo prático, passo a passo, para fixar (faça igual na prova). Considere a amostra ordenada
2,\;4,\;7,\;8,\;10,\;12,\;13,\;16,\;20
aqui n=9. Vou calcular Q_1,\;Q_2,\;Q_3,\;D_1 e P_{90} passo a passo usando a regra do L=\dfrac{k}{100}(n+1).
  1. Q_2 (mediana) é P_{50}. Calcule L:
L=\frac{50}{100}(9+1)=0{,}5\cdot10=5.
Como L=5 é inteiro, a mediana é o 5-º valor:
Q_2= x_{(5)} = 10.
  1. Q_1 é P_{25}. Calcule L:
L=\frac{25}{100}(9+1)=0{,}25\cdot10=2{,}5.
Aqui L=2{,}5. Então m=2 e \delta=0{,}5. Os valores x_{(2)} e x_{(3)} são 4 e 7. Interpolando:
Q_1 = 4 + 0{,}5\cdot(7-4) = 4 + 0{,}5\cdot3 = 4 + 1{,}5 = 5{,}5.
  1. Q_3 é P_{75}. Calcule L:
L=\frac{75}{100}(9+1)=0{,}75\cdot10=7{,}5.
Temos m=7 e \delta=0{,}5. Os valores x_{(7)} e x_{(8)} são 13 e 16. Interpolando:
Q_3 = 13 + 0{,}5\cdot(16-13) = 13 + 1{,}5 = 14{,}5.
  1. D_1 (primeiro decis \equiv P_{10} porque 1\cdot10\% =10\%). Calcule L:
L=\frac{10}{100}(9+1)=0{,}1\cdot10=1.
L=1 inteiro, então
D_1 = x_{(1)} = 2.
  1. P_{90}: calcule L:
L=\frac{90}{100}(9+1)=0{,}9\cdot10=9.
Logo
P_{90}= x_{(9)} = 20.

Passo 5

Interpretação rápida dos resultados do exemplo e uso prático:
  • Os quartis obtidos foram Q_1=5{,}5, Q_2=10, Q_3=14{,}5. Isso mostra onde fica o “centro” e a dispersão da metade central.
  • A amplitude interquartílica é
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1 = 14{,}5 - 5{,}5 = 9.
Regra prática para outliers (usada em boxplot): pontos abaixo de Q_1 - 1{,}5\cdot\mathrm{IQR} ou acima de Q_3 + 1{,}5\cdot\mathrm{IQR} são considerados outliers. No exemplo:
Q_1 - 1{,}5\cdot\mathrm{IQR} = 5{,}5 - 1{,}5\cdot9 = 5{,}5 - 13{,}5 = -8,
Q_3 + 1{,}5\cdot\mathrm{IQR} = 14{,}5 + 13{,}5 = 28.
Nenhum dado está fora dessas fronteiras, logo não há outliers segundo essa regra.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (práticas e de “sobrevivência”):
  • Sempre ordene os dados antes de qualquer coisa. Sem isso, tudo dá errado.
  • Memorize a fórmula de posição com (n+1): L=\dfrac{k}{100}(n+1). É a forma mais segura para interpolar.
  • Se der tempo curto, use o método do posto (posição =\left\lceil \dfrac{k n}{100}\right\rceil) para uma resposta rápida; sinalize na sua solução que usou esse método.
  • Lembre que Q_2= mediana = P_{50} e D_5 também é a mediana.
  • Use as separatrizes para descrever assimetria: se Q_2-Q_1 é muito diferente de Q_3-Q_2 a distribuição é assimétrica.

Passo 7

Resumo motivador: aprender a calcular quartis, decis e percentis te dá uma ferramenta prática para “posicionar” qualquer valor dentro de uma amostra, detectar concentração central, assimetria e outliers. Dá um pouco de trabalho no começo, mas seguindo a receita (ordenar, calcular L, interpolar) você resolve rápido na prova. Força — você consegue!

Resposta

Medidas separatrizes são valores que dividem uma amostra ordenada em partes iguais para localizar a posição relativa dos dados; exemplos: quartis ( Q_1,Q_2,Q_3) dividem em quatro partes, decis ( D_1,\dots,D_9) em dez partes e percentis ( P_1,\dots,P_{99}) em cem partes.

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