Questão 1 (2,0 pontos)

Pedaços de madeira inicialmente a uma umidade de 186 \% em base seca são secos até uma umidade final de 7,5 \% em base seca. Durante a secagem, o sólido apresenta atividade de água igual a 1,0 até atingir um teor de umidade de 120 \% em base seca. Sabendo-se que a taxa de secagem no período constante é de 13,2 \mathrm{~kg} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} /\left(\mathrm{kg}_{\text {sólido seco }} \mathrm{h}\right)ó, estime o período de secagem total da madeira considerando que a curva de secagem passa pela origem no gráfico (taxa de secagem X umidade em base seca).
*Dica: Tenha atenção às unidades de taxa de secagem ao substituírem nas equações para cálculo de tempo de secagem e na conversão do % de umidade.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos (vou listar exatamente o que foi dado):
  • Pedaços de madeira têm teor de umidade inicial \,186\% em base seca e teor final \,7{,}5\% em base seca.
  • Durante a secagem, a madeira apresenta período de taxa constante até atingir \,120\% em base seca.
  • A taxa de secagem no período constante é \,13{,}2\\ \mathrm{kg\\ H_2O/(kg_{sólido\\ seco}\cdot h)}ó.
  • A curva taxa de secagem versus umidade passa pela origem (logo, na queda de taxa a vazão é proporcional ao teor de umidade).
    O objetivo: estimar o tempo total de secagem (tempo do período de taxa constante + tempo do período de queda de taxa) para ir de \,186\% até \,7{,}5\%.

Passo 2

Converter os teores de umidade (% em base seca) para unidades consistentes (kg H2O por kg de sólido seco). Explicação rápida: umidade em base seca \,X\% significa \,X/100 kg de água por kg de sólido seco. Vou chamar o teor de umidade simplesmente de M (unidade: \mathrm{kg\\ H_2O/kg_{sólido\\ seco}}ó).
  • \displaystyle M_i = 186\% = 1{,}86\\ \mathrm{kg\\ H_2O/kg_{sólido\\ seco}}ó.
  • \displaystyle M_c = 120\% = 1{,}20\\ \mathrm{kg\\ H_2O/kg_{sólido\\ seco}}ó (ponto final do período constante).
  • \displaystyle M_f = 7{,}5\% = 0{,}075\\ \mathrm{kg\\ H_2O/kg_{sólido\\ seco}}ó.
    Observação sobre unidades: a taxa dada \,13{,}2 já está em \mathrm{kg\\ H_2O/(kg_{sólido\\ seco}\cdot h)}ó, portanto usar M em \mathrm{kg\\ H_2O/kg_{sólido\\ seco}}ó garante consistência.

Passo 3

Calcular o tempo do período de taxa constante. Raciocínio: na fase de taxa constante a remoção de água por unidade de tempo é constante e igual a r_{\text{const}}=13{,}2\\ \mathrm{kg/(kg\cdot h)}. O tempo é a quantidade de água removida dividida pela taxa:
t_{\text{const}}=\frac{M_i-M_c}{r_{\text{const}}}.
Substituindo:
t_{\text{const}}=\frac{1{,}86-1{,}20}{13{,}2}=\frac{0{,}66}{13{,}2}=0{,}05\\ \mathrm{h}.
Converter para minutos (opcional para intuição):
0{,}05\\ \mathrm{h}=0{,}05\times60=3{,}0\\ \mathrm{min}.

Passo 4

Modelagem da fase de queda de taxa (didática). O enunciado diz que a curva taxa versus umidade passa pela origem e atinge 13{,}2 em M=1{,}20. Isso significa que a taxa de secagem r é proporcional ao teor de umidade M, ou seja existe uma constante k tal que
r(M)=k\,M.
Como r(M_c)=13{,}2 quando M_c=1{,}20, temos
k=\frac{r_{\text{const}}}{M_c}=\frac{13{,}2}{1{,}20}=\frac{13{,}2}{1{,}20}.
Não preciso calcular k explicitamente para integrar (ver passo seguinte), mas podemos notar que k=11 \mathrm{h^{-1}} se fosse calculado numericamente (vamos usar forma algébrica para clareza).

Passo 5

Equação diferencial e integração (aula rápida). A taxa r(M) é a velocidade de variação do teor de umidade com o tempo, com sinal negativo (o teor diminui). Escrevemos
\frac{dM}{dt}=-r(M)=-kM.
Isto é uma equação diferencial do tipo separável. Separando e integrando de M_c até M_f para o tempo correspondente:
\int_{M_c}^{M_f}\frac{dM}{M}=-\int_{0}^{t_{\text{fall}}}k\,dt.
A integração dá (explicando passo a passo):
\left[\ln M\right]_{M_c}^{M_f} = -k\,t_{\text{fall}} \quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{M_f}{M_c}\right) = -k\,t_{\text{fall}}.
Isolando t_{\text{fall}}:
t_{\text{fall}}=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{M_c}{M_f}\right).
Substituindo k=\dfrac{r_{\text{const}}}{M_c} (do passo anterior) simplifica elegantemente:
t_{\text{fall}}=\frac{M_c}{r_{\text{const}}}\ln\!\left(\frac{M_c}{M_f}\right).
Esta forma é prática e evita calcular k separadamente.

Passo 6

Calcular numericamente o tempo do período de queda de taxa. Usando
t_{\text{fall}}=\frac{M_c}{r_{\text{const}}}\ln\!\left(\frac{M_c}{M_f}\right),
substituindo M_c=1{,}20, M_f=0{,}075 e r_{\text{const}}=13{,}2:
  • Primeiro a razão interna:
\frac{M_c}{M_f}=\frac{1{,}20}{0{,}075}=16.
  • O logaritmo natural:
\ln(16)=\ln(2^4)=4\ln 2\approx 4\times0{,}693147=2{,}772589.
  • Agora o tempo:
t_{\text{fall}}=\frac{1{,}20}{13{,}2}\times2{,}772589=\frac{1}{11}\times2{,}772589\approx0{,}2521\\ \mathrm{h}.
Converter para minutos:
0{,}2521\\ \mathrm{h}\times60\approx15{,}13\\ \mathrm{min}.

Passo 7

Somar os dois períodos para obter o tempo total de secagem:
t_{\text{total}}=t_{\text{const}}+t_{\text{fall}}=0{,}05\\ \mathrm{h}+0{,}2521\\ \mathrm{h}\approx0{,}3021\\ \mathrm{h}.
Em minutos:
t_{\text{total}}\approx0{,}3021\times60\approx18{,}12\\ \mathrm{min}.

Passo 8

Verificação rápida e comentário final (motivação): o tempo do período constante foi muito pequeno (3 minutos) porque a quantidade de água removida até 120\% é pequena comparada à alta taxa de \,13{,}2\\ \mathrm{kg/(kg\cdot h)}. A maior parte do tempo está na fase de queda de taxa, que foi calculada integrando a lei proporcional r\propto M. Se quiser, dá para refazer com mais casas decimais, mas o procedimento e as unidades estão corretos. Vai dar tudo certo na prova — só lembrar de converter os % para kg/kg antes de dividir pela taxa!

Resposta

t_{\text{total}}\approx0{,}3021\\ \mathrm{h}=18{,}12\\ \mathrm{min}

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