Questão 1 (2,0 pontos)
Pedaços de madeira inicialmente a uma umidade de
em base seca são secos até uma umidade final de
em base seca. Durante a secagem, o sólido apresenta atividade de água igual a 1,0 até atingir um teor de umidade de
em base seca. Sabendo-se que a taxa de secagem no período constante é de
, estime o período de secagem total da madeira considerando que a curva de secagem passa pela origem no gráfico (taxa de secagem X umidade em base seca).
*Dica: Tenha atenção às unidades de taxa de secagem ao substituírem nas equações para cálculo de tempo de secagem e na conversão do % de umidade.
*Dica: Tenha atenção às unidades de taxa de secagem ao substituírem nas equações para cálculo de tempo de secagem e na conversão do % de umidade.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos (vou listar exatamente o que foi dado):
- Pedaços de madeira têm teor de umidade inicial
em base seca e teor final em base seca. - Durante a secagem, a madeira apresenta período de taxa constante até atingir
em base seca. - A taxa de secagem no período constante é
. - A curva taxa de secagem versus umidade passa pela origem (logo, na queda de taxa a vazão é proporcional ao teor de umidade).
O objetivo: estimar o tempo total de secagem (tempo do período de taxa constante + tempo do período de queda de taxa) para ir deaté .
Passo 2
Converter os teores de umidade (% em base seca) para unidades consistentes (kg H2O por kg de sólido seco). Explicação rápida: umidade em base seca
significa
kg de água por kg de sólido seco. Vou chamar o teor de umidade simplesmente de
(unidade:
).
-
. -
(ponto final do período constante). -
.
Observação sobre unidades: a taxa dadajá está em , portanto usar em garante consistência.
Passo 3
Calcular o tempo do período de taxa constante. Raciocínio: na fase de taxa constante a remoção de água por unidade de tempo é constante e igual a
. O tempo é a quantidade de água removida dividida pela taxa:
Substituindo:
Converter para minutos (opcional para intuição):
Passo 4
Modelagem da fase de queda de taxa (didática). O enunciado diz que a curva taxa versus umidade passa pela origem e atinge
em
. Isso significa que a taxa de secagem
é proporcional ao teor de umidade
, ou seja existe uma constante
tal que
Como
quando
, temos
Não preciso calcular
explicitamente para integrar (ver passo seguinte), mas podemos notar que
se fosse calculado numericamente (vamos usar forma algébrica para clareza).
Passo 5
Equação diferencial e integração (aula rápida). A taxa
é a velocidade de variação do teor de umidade com o tempo, com sinal negativo (o teor diminui). Escrevemos
Isto é uma equação diferencial do tipo separável. Separando e integrando de
até
para o tempo correspondente:
A integração dá (explicando passo a passo):
Isolando
:
Substituindo
(do passo anterior) simplifica elegantemente:
Esta forma é prática e evita calcular
separadamente.
Passo 6
Calcular numericamente o tempo do período de queda de taxa. Usando
substituindo
,
e
:
- Primeiro a razão interna:
- O logaritmo natural:
- Agora o tempo:
Converter para minutos:
Passo 7
Somar os dois períodos para obter o tempo total de secagem:
Em minutos:
Passo 8
Verificação rápida e comentário final (motivação): o tempo do período constante foi muito pequeno (3 minutos) porque a quantidade de água removida até
é pequena comparada à alta taxa de
. A maior parte do tempo está na fase de queda de taxa, que foi calculada integrando a lei proporcional
. Se quiser, dá para refazer com mais casas decimais, mas o procedimento e as unidades estão corretos. Vai dar tudo certo na prova — só lembrar de converter os % para kg/kg antes de dividir pela taxa!