Questão 4. (3,0 pontos) poço quântico de barreiras infinitas e largura a :
psi(x, t)=ll A sen(2 pi xa) e^-i E E t & ;-a2<x<a2 0 & ; x<-a2 ou x>a2
(a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo (considere a energia potencial igual a zero);
(b) Utilize a equação de onda de matéria acima e a equação Schrödinger independente do tempo para determinar o valor da energia do estado.
(c) Dentro intervalo -a2<x<a2 onde é a maior probabilidade de encontrar a partícula considerando o comportamento quântico?

Passo 1

Vamos recapitular o enunciado: estamos num poço quântico unidimensional de largura a com barreiras infinitas e nos dão a função de onda psi(x,t)=Asinl(tfrac2pi xar)e^-iEt/hbar para -a/2<x<a/2, zero fora. Precisamos (a) escrever a equação de Schrödinger independente do tempo, (b) usar essa equação e a parte espacial de psi para achar o valor de E e (c) indicar onde |psi|^2 é máximo dentro do poço.

Passo 2

A equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão com V(x)=0 é dada por
-hbar^22md^2psi(x)dx^2=Epsi(x)
Aqui m é a massa da partícula e hbar a constante reduzida.

Passo 3

Para encontrar E, usamos a parte espacial psi(x)=Asinl(tfrac2pi xar). Calculamos
d^2psidx^2=-Al(tfrac2piar)^2sinl(tfrac2pi xar)=-l(tfrac2piar)^2psi(x)
Substituindo na equação de Schrödinger:
-hbar^22ml[-(tfrac2pia)^2psi(x)r]=Epsi(x)
hbar^22ml(tfrac2piar)^2=E
Isso dá
E=2pi^2hbar^2m a^2

Passo 4

A probabilidade de encontrar a partícula é |psi(x)|^2=A^2sin^2l(tfrac2pi xar). Os máximos de sin^2theta ocorrem quando theta=pi/2+kpi. Aqui
2pi xa=pi2+kpi Rightarrow x=a4+ka2
No intervalo -a/2,x,a/2 isso corresponde a x=pm a/4.

Resposta

(a) A equação de Schrödinger independente do tempo com V=0 é:
-hbar^22md^2psi(x)dx^2=Epsi(x)
(b) Substituindo psi(x)=Asin(2pi x/a) obtemos
E=2pi^2hbar^2m a^2
(c) A probabilidade |psi|^2 é máxima em x=pm a/4 dentro do poço.

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