Um aluno de doutorado fabricou uma fenda simples extremamente pequena de modo que não era possível usar um instrumento de medida para obter este valor de forma direta. Para tais propósitos ele utilizou um laser com comprimento de onda
e o incidiu na fenda. A 3 m da fenda ele colocou um anteparo e observou um padrão de difração no qual o primeiro mínimo estava a 10 cm do centro. Obtenha a largura da fenda.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem um problema de difração de uma fenda simples, que é um assunto de Óptica Física. O aluno usou um laser com comprimento de onda
e observou o padrão de difração numa tela a 3 metros da fenda. O primeiro mínimo desse padrão está a 10 centímetros do centro. A pergunta é: qual é a largura da fenda? Para resolver isso, vamos precisar entender como a luz se comporta quando passa por uma fenda estreita e forma esse padrão de difração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é difração. Difração é o desvio da trajetória das ondas quando elas passam por uma abertura ou ao redor de um obstáculo. No caso de uma fenda simples, a luz que passa por ela cria um padrão característico na tela, com um máximo central e vários mínimos e máximos laterais.
A posição dos mínimos no padrão de difração de uma fenda simples é dada pela fórmula:
onde:
-
é a largura da fenda que queremos encontrar, -
é o ângulo entre a direção central da luz e o ponto do mínimo na tela, -
é a ordem do mínimo (números inteiros, sendo o primeiro mínimo ), -
é o comprimento de onda da luz.
Passo 3
Como o ângulo
é geralmente pequeno, podemos fazer uma aproximação usando o pequeno ângulo, onde
(em radianos). Assim, a posição do mínimo na tela
está relacionada pelo ângulo
pela fórmula:
onde:
-
é a distância do mínimo ao centro do padrão de difração na tela, -
é a distância entre a fenda e a tela.
Substituindo
na equação anterior:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar essa equação para resolver a largura da fenda
:
Vamos usar essa fórmula para calcular
. Já conhecemos:
-
(primeiro mínimo), -
, -
, -
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Fazendo os cálculos:
Convertendo para micrômetros (
):
Resposta
A largura da fenda é aproximadamente 19,05 micrômetros.