Um aluno de doutorado fabricou uma fenda simples extremamente pequena de modo que não era possível usar um instrumento de medida para obter este valor de forma direta. Para tais propósitos ele utilizou um laser com comprimento de onda lambda=635 nm e o incidiu na fenda. A 3 m da fenda ele colocou um anteparo e observou um padrão de difração no qual o primeiro mínimo estava a 10 cm do centro. Obtenha a largura da fenda.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem um problema de difração de uma fenda simples, que é um assunto de Óptica Física. O aluno usou um laser com comprimento de onda lambda = 635 nm e observou o padrão de difração numa tela a 3 metros da fenda. O primeiro mínimo desse padrão está a 10 centímetros do centro. A pergunta é: qual é a largura da fenda? Para resolver isso, vamos precisar entender como a luz se comporta quando passa por uma fenda estreita e forma esse padrão de difração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é difração. Difração é o desvio da trajetória das ondas quando elas passam por uma abertura ou ao redor de um obstáculo. No caso de uma fenda simples, a luz que passa por ela cria um padrão característico na tela, com um máximo central e vários mínimos e máximos laterais.
A posição dos mínimos no padrão de difração de uma fenda simples é dada pela fórmula:
a sin theta = mlambda
onde:
  • a é a largura da fenda que queremos encontrar,
  • theta é o ângulo entre a direção central da luz e o ponto do mínimo na tela,
  • m é a ordem do mínimo (números inteiros, sendo o primeiro mínimo m = 1),
  • lambda é o comprimento de onda da luz.

Passo 3

Como o ângulo theta é geralmente pequeno, podemos fazer uma aproximação usando o pequeno ângulo, onde sin theta approx tan theta approx theta (em radianos). Assim, a posição do mínimo na tela y está relacionada pelo ângulo theta pela fórmula:
tan theta = yL
onde:
  • y é a distância do mínimo ao centro do padrão de difração na tela,
  • L é a distância entre a fenda e a tela.
Substituindo theta na equação anterior:
a cdot yL = mlambda

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essa equação para resolver a largura da fenda a:
a = mlambda Ly
Vamos usar essa fórmula para calcular a. Já conhecemos:
  • m = 1 (primeiro mínimo),
  • lambda = 635 times 10^-9 , m,
  • L = 3 , m,
  • y = 0,10 , m.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
a = 1 times 635 times 10^-9 , m times 3 , m0,10 , m
Fazendo os cálculos:
a = 1 times 635 times 3 times 10^-90,10 = 1905 times 10^-90,10 = 19050 times 10^-9 , m
Convertendo para micrômetros ( 1 , mum = 10^-6 , m):
a = 19,05 times 10^-6 , m = 19,05 , mum

Resposta

A largura da fenda é aproximadamente 19,05 micrômetros.

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