Questão 3 (2,5 pontos)
a) (0,5 ponto) Apresente a relação entre um estado quântico no quadro de Heiseiberg
com sua representação no quadro de Schroedinger
.
b) (0,8 ponto) Seja
um observável, cujo valor esperado é denotado por
. Seja
e
as descrições desse observável nas representações de Heisenberg e de Schroedinger. Qual a relação entre
e
? Verifique em detalhes que o valor esperado
independe da representação utilizada.
c) (1,2 pontos) Para uma função
no espaço de fase, sabe-se da mecânica analítica que sua derivada temporal total pode ser expressa por meio dos parênteses de Poisson e da Hamiltoniana, tal como segue:
Na mecânica quântica, há uma expressão de forma semelhante que aparece da relação entre
com
, na qual o comutador aparece no lugar dos parênteses de Poisson. A partir de relação entre
e
obtida no item anterior, encontre essa expressão.
b) (0,8 ponto) Seja
c) (1,2 pontos) Para uma função
Passo 1
O enunciado trata das duas “fotos” (representações) usadas em mecânica quântica – Schr"odinger e Heisenberg – e pede (a) a relação entre os kets em cada quadro, (b) a relação entre o mesmo observável em cada quadro e a prova de que o valor esperado não muda, e (c) a analogia qu^antica da f’ormula cl’assica
, mostrando que surge um comutador no lugar do par^entese de Poisson. Vamos usar o operador de evolu\c{c}~ao unit’ario
, as equa\c{c}~oes de movimento qu^anticas e as propriedades de unitariedade de
.
Passo 2
No quadro de Schr"odinger o ket evolui segundo
No quadro de Heisenberg definimos o estado estacion’ario
Logo a rela\c{c}~ao entre os estados 'e
Passo 3
Em Schr"odinger o observ’avel pode ter depend^encia expl’icita de
, chamemos-no
. No quadro de Heisenberg definimos
Para o valor esperado temos
mostrando que
independe do quadro escolhido.
Passo 4
Para achar a “equação de movimento” de
diferencio em
:
Usando
temos
Reconhecendo
como a derivada explícita de
no quadro de Heisenberg, obtemos a forma final análoga à clássica:
Resposta
a)
b)
e
c)
ou, de modo mais compacto,