Questão 3 (2,5 pontos)

a) (0,5 ponto) Apresente a relação entre um estado quântico no quadro de Heiseiberg |psiHrang<= com sua representação no quadro de Schroedinger |psiSrang<=.
b) (0,8 ponto) Seja A(t) um observável, cujo valor esperado é denotado por lang<= A(t)rang<=. Seja AH(t) e AS(t) as descrições desse observável nas representações de Heisenberg e de Schroedinger. Qual a relação entre AH(t) e AS(t) ? Verifique em detalhes que o valor esperado lang<= A(t)rang<= independe da representação utilizada.
c) (1,2 pontos) Para uma função f no espaço de fase, sabe-se da mecânica analítica que sua derivada temporal total pode ser expressa por meio dos parênteses de Poisson e da Hamiltoniana, tal como segue:
d fd t=f, H+partial fpartial t
Na mecânica quântica, há uma expressão de forma semelhante que aparece da relação entre d AH / d t com d AS / d t, na qual o comutador aparece no lugar dos parênteses de Poisson. A partir de relação entre AH e AS obtida no item anterior, encontre essa expressão.

Passo 1

O enunciado trata das duas “fotos” (representações) usadas em mecânica quântica – Schr"odinger e Heisenberg – e pede (a) a relação entre os kets em cada quadro, (b) a relação entre o mesmo observável em cada quadro e a prova de que o valor esperado não muda, e (c) a analogia qu^antica da f’ormula cl’assica tfracdfdt=f,H+tfracpartial fpartial t, mostrando que surge um comutador no lugar do par^entese de Poisson. Vamos usar o operador de evolu\c{c}~ao unit’ario U(t,t0), as equa\c{c}~oes de movimento qu^anticas e as propriedades de unitariedade de U.

Passo 2

No quadro de Schr"odinger o ket evolui segundo
|psiS(t)rang<= ;=;U(t,t0),|psiS(t0)rang<=
No quadro de Heisenberg definimos o estado estacion’ario
|psiHrang<= equiv |psiS(t0)rang<=
Logo a rela\c{c}~ao entre os estados 'e
|psiS(t)rang<= = U(t,t0),|psiHrang<=, |psiHrang<= = U^dag>=r(t,t0),|psiS(t)rang<=

Passo 3

Em Schr"odinger o observ’avel pode ter depend^encia expl’icita de t, chamemos-no AS(t). No quadro de Heisenberg definimos
AH(t);=;U^dag>=r(t,t0),AS(t),U(t,t0)
Para o valor esperado temos
lang<= A(t)rang<= =lang<=psiS(t)|,AS(t),|psiS(t)rang<= =lang<=psiH|,U^dag>=rASU,|psiHrang<= =lang<=psiH|,AH(t),|psiHrang<=,
mostrando que lang<= A(t)rang<= independe do quadro escolhido.

Passo 4

Para achar a “equação de movimento” de AH(t) diferencio em t:
dAHdt =dU^dag>=rdt,AS,U +U^dag>=r,partial ASpartial t,U +U^dag>=r,AS,dUdt
Usando
ihbar,dUdt=H,U ;Rightarrow; dUdt=-ihbarH,U, dU^dag>=rdt=ihbarU^dag>=rH,
temos
dAHdt =ihbarU^dag>=rH,ASU +U^dag>=rpartial ASpartial tU -ihbarU^dag>=rASH,U =ihbar[H,,,AH(t)] +U^dag>=rpartial ASpartial tU
Reconhecendo U^dag>=rtfracpartial ASpartial tU como a derivada explícita de A no quadro de Heisenberg, obtemos a forma final análoga à clássica:

Resposta

a)
|psiS(t)rang<= = U(t,t0),|psiHrang<=, |psiHrang<= = U^dag>=r(t,t0),|psiS(t)rang<=
b)
AH(t)=U^dag>=r(t,t0),AS(t),U(t,t0),
e
lang<= A(t)rang<= =lang<=psiS(t)|AS(t)|psiS(t)rang<= =lang<=psiH|AH(t)|psiHrang<=
c)
dAHdt =ihbarl[H,,,AH(t)r] +;U^dag>=r(t,t0);partial AS(t)partial t;U(t,t0),
ou, de modo mais compacto,
dAHdt =1ihbarl[AH(t),,Hr] +l(partial Apartial tr)H

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