Questão 3 (2,5 pontos)

a) (0,5 ponto) Um átomo de hidrogênio irradia e seu elétron faz uma transição do orbital 3p para o 1s. Encontre a energia irradiada em unidades de elétron-volt (eV).
b) (0,8 ponto) Considere que a seguinte hamiltoniana é usada para descrever um átomo de hidrogênio:
H=-hbar2 mu nabla^2-e^2r
em que mu é a massa reduzida do sistema e a constante e é o módulo da carga do elétron. Sejam os estados associados aos orbitais 3 p e 1s respectivamente descritos por |psi3 prang<= e |psi1 srang<=.
Expresse a probabilidade de transição espontânea do estado |psi3 prang<=, num instante t0, para o estado |psi1 srang<= num instante t1, e em seguida encontre seu valor. Justifique sua resposta e interprete seu resultado.
c) (1,2 pontos) A partir da equação de Schroedinger, mostre que os autoestados da Hamiltoniana da eq. (1) podem ser escritos em coordenadas esféricas na seguinte forma:
psik, l, m(r)=Rk l(r) Yl^m(theta, phi)
Mostre ainda que a energia do sistema para a hamiltoniana dada não pode depender do número quântico m.

Passo 1

O enunciado trata de um átomo de hidrogênio e pede três coisas:
– (a) a energia irradiada quando o elétron faz a transição de 3p para 1s;
– (b) a probabilidade de transição espontânea entre esses estados usando a evolução temporal dada pela Hamiltoniana de hidrogênio;
– (c) mostrar que os autoestados da Hamiltoniana podem ser escritos em coordenadas esféricas como psik,l,m(r,theta,phi)=Rkl(r),Yl^m(theta,phi) e que a energia não depende de m.
Para (a) usaremos a fórmula dos níveis de energia de Bohr em eV; para (b) a evolução pelo operador U(t1,t0)=exp[-,iH(t1-t0)/hbar] e a ortonormalidade dos autoestados; e para (c) a forma da laplaciana em coordenadas esféricas e a separação de variáveis.

Passo 2

Para (a), lembramos que os níveis de energia do átomo de hidrogênio são
En = -13,6n^2,eV
Assim,
E1=-13,6,eV, E3=-13,63^2=-1,511,eV
A energia do fóton emitido é a diferença
De<a E = E1-E3 = -13,6 -(-1,511) =12,089,eVapprox12,09,eV

Passo 3

Para (b), a probabilidade de transição espontânea de lvertpsi3prang<= em t0 para lvertpsi1srang<= em t1 é
P3pto1s(t0,t1) =llvertlang<=psi1srvert U(t1,t0)lvertpsi3prang<=rrvert^2, U(t1,t0)=exp!l[-iH,(t1-t0)hbarr]
Como lvertpsi1srang<= e lvertpsi3prang<= são autoestados ortonormais de H, temos
lang<=psi1srvert Ulvertpsi3prang<= =e^-,tfraciE1(t1-t0)hbar lang<=psi1s!midpsi3prang<= =0,
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P3pto1s(t0,t1)=0
Interpretação: sem interação (perturbação) externa não há transição espontânea entre autoestados de uma Hamiltoniana estacionária.

Passo 4

Para (c), partimos da equação estacionária de Schr"odinger
-hbar^22munabla^2psi(r) -e^2r,psi(r) =E,psi(r)
Em coordenadas esféricas a laplaciana é
nabla^2 =1r^2partialpartial rl(r^2partialpartial rr) -L^2hbar^2,r^2,
onde L^2 atua apenas em (theta,phi). Fazendo a separação de variáveis
psi(r,theta,phi)=R(r),Y(theta,phi),
e dividindo a equação resultante por R,Y, obtém-se uma equação radial só em r e uma angular só em (theta,phi). A parte angular leva ao autovalor
L^2,Yl^m(theta,phi) =hbar^2,l(l+1),Yl^m(theta,phi),
mostrando que os autoestados angulares são os harmônicos esféricos Yl^m. Assim
psik,l,m(r,theta,phi)=Rkl(r),Yl^m(theta,phi)

Passo 5

Na equação radial aparece l(l+1) mas não m, e a energia E sai da parte radial, dependendo apenas do número quântico principal (aqui denotado k ou n). Portanto Ek,l,m=Ek não depende de m, caracterizando a degenerescência em m.

Resposta

(a) 12,09,eV
(b) P3pto1s(t0,t1)=0
(c) Os autoestados se escrevem
psik,l,m(r,theta,phi)=Rkl(r),Yl^m(theta,phi)
e a energia Ek não depende de m.

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