a) (0,5 ponto) Um átomo de hidrogênio irradia e seu elétron faz uma transição do orbital 3p para o 1s. Encontre a energia irradiada em unidades de elétron-volt (eV).
b) (0,8 ponto) Considere que a seguinte hamiltoniana é usada para descrever um átomo de hidrogênio:
em que é a massa reduzida do sistema e a constante é o módulo da carga do elétron. Sejam os estados associados aos orbitais 3 p e 1s respectivamente descritos por e .
Expresse a probabilidade de transição espontânea do estado , num instante , para o estado num instante , e em seguida encontre seu valor. Justifique sua resposta e interprete seu resultado.
c) (1,2 pontos) A partir da equação de Schroedinger, mostre que os autoestados da Hamiltoniana da eq. (1) podem ser escritos em coordenadas esféricas na seguinte forma:
Mostre ainda que a energia do sistema para a hamiltoniana dada não pode depender do número quântico .
Passo 1
O enunciado trata de um átomo de hidrogênio e pede três coisas:
– (a) a energia irradiada quando o elétron faz a transição de para ;
– (b) a probabilidade de transição espontânea entre esses estados usando a evolução temporal dada pela Hamiltoniana de hidrogênio;
– (c) mostrar que os autoestados da Hamiltoniana podem ser escritos em coordenadas esféricas como e que a energia não depende de .
Para (a) usaremos a fórmula dos níveis de energia de Bohr em eV; para (b) a evolução pelo operador e a ortonormalidade dos autoestados; e para (c) a forma da laplaciana em coordenadas esféricas e a separação de variáveis.
Passo 2
Para (a), lembramos que os níveis de energia do átomo de hidrogênio são
Assim,
A energia do fóton emitido é a diferença
Passo 3
Para (b), a probabilidade de transição espontânea de em para em é
Como lvertpsi1srang<= e lvertpsi3prang<= são autoestados ortonormais de H, temos
mostrando que os autoestados angulares são os harmônicos esféricos Yl^m. Assim
psik,l,m(r,theta,phi)=Rkl(r),Yl^m(theta,phi)
Passo 5
Na equação radial aparece l(l+1) mas não m, e a energia E sai da parte radial, dependendo apenas do número quântico principal (aqui denotado k ou n). Portanto Ek,l,m=Ek não depende de m, caracterizando a degenerescência em m.
Resposta
(a) 12,09,eV
(b) P3pto1s(t0,t1)=0
(c) Os autoestados se escrevem psik,l,m(r,theta,phi)=Rkl(r),Yl^m(theta,phi)
e a energia Ek não depende de m.