Questão 2 (2,5 pontos)
Seja uma esfera condutora, aterrada, de raio
, circundada por um anel fino concêntrico, com densidade linear de carga
e raio
.
Tomando
constante, calcule o potencial sobre o eixo de simetria desse sistema.
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera condutora aterrada de raio
e, no plano equatorial, um anel fino de raio
com densidade linear de carga constante
. Precisamos achar o potencial eletrostático ao longo do eixo de simetria (eixo
) desse sistema. Como a esfera está aterrada, o potencial em sua superfície é zero, e podemos usar o método de imagens para repor as cargas induzidas na esfera por uma distribuição contínua (o anel).
Passo 2
Lembrando o método de imagens para uma carga pontual
a uma distância
do centro de uma esfera condutora aterrada de raio
: substituímos essa carga por
localizada a uma distância
do centro. Isso garante
em
.
Passo 3
Como o anel é uma reunião de cargas pontuais
, cada elemento induz, por linearidade, um elemento de imagem
sobre um anel de raio
no mesmo plano. A densidade linear da imagem será
Passo 4
O potencial no ponto
devido ao anel real é
logo
Passo 5
O potencial devido ao anel imagem é
pois
. Assim
Passo 6
Somando os dois contributos, o potencial total ao longo do eixo é