Questão 2 (2,5 pontos)

Seja uma esfera condutora, aterrada, de raio a, circundada por um anel fino concêntrico, com densidade linear de carga lambda e raio d>a.
Tomando lambda constante, calcule o potencial sobre o eixo de simetria desse sistema.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera condutora aterrada de raio a e, no plano equatorial, um anel fino de raio d>a com densidade linear de carga constante lambda. Precisamos achar o potencial eletrostático ao longo do eixo de simetria (eixo z) desse sistema. Como a esfera está aterrada, o potencial em sua superfície é zero, e podemos usar o método de imagens para repor as cargas induzidas na esfera por uma distribuição contínua (o anel).

Passo 2

Lembrando o método de imagens para uma carga pontual q a uma distância r=d do centro de uma esfera condutora aterrada de raio a: substituímos essa carga por
q'=-,q,ad,
localizada a uma distância
d'=a^2d
do centro. Isso garante V=0 em r=a.

Passo 3

Como o anel é uma reunião de cargas pontuais dq=lambda,d,dphi, cada elemento induz, por linearidade, um elemento de imagem
dq'=-,ad,dq=-,lambda,a,dphi
sobre um anel de raio
d'=a^2d
no mesmo plano. A densidade linear da imagem será
lambda'=dq'd',dphi =-,lambda,ad'=-,lambda,da

Passo 4

O potencial no ponto (0,0,z) devido ao anel real é
V1(z) =14pivarepsilon0, Qraizd^2+z^2 com Q=2pi d,lambda,
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V1(z) =lambda,2pi,d4pivarepsilon0,raizd^2+z^2 =lambda,d2varepsilon0,raizd^2+z^2

Passo 5

O potencial devido ao anel imagem é
V2(z) =14pivarepsilon0, Q'raizd'^2+z^2 com Q'=2pi d',lambda' =-,2pi a,lambda,
pois d',lambda'=(a^2/d)(-,lambda d/a)=-,alambda. Assim
V2(z) =-,2pi a,lambda4pivarepsilon0,raizl(a^2/dr)^2+z^2 =-,lambda,a2varepsilon0,raiza^4/d^2+z^2

Passo 6

Somando os dois contributos, o potencial total ao longo do eixo é
V(z)=V1(z)+V2(z) =lambda2varepsilon0gl( draizd^2+z^2 -araiza^4/d^2+z^2 gr)

Resposta

V(z) =lambda2varepsilon0gl( draizd^2+z^2 -araiza^4d^2+z^2 gr)

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