Água a 100^{\circ} \mathrm{C} escoa em uma matriz de 30 tubos de cobre. Os tubos possuem 28.6 mm de diâmetro externo e 3 m de comprimento, com uma espessura de parede de 0.9 mm . Ar a 20^{\circ} \mathrm{C} escoa de maneira perpendicular à matriz de tubos. Considere a vazão mássica da água como 17 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e a do ar como 25 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}.
(a) Determine a temperatura de saída da água se h (água) =7200 \mathrm{~h} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e h(ar) =110 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.
(b) Para melhorar a remoção de calor, aletas de alumínio são colocadas na parte externa dos tubos. A área de superfície total das aletas e tubos somados agora é de 81 m^{2}. Explique, em termos físicos, o motivo das aletas intesificarem a transferência de calor. Se a resistência térmica por condução das aletas for pequena e o coeficiente de transferência de calor do ar permanecer inalterado, qual será a nova temperatura de saída da água?

Passo 1

O enunciado descreve um permutador de calor em que água a \,100^\circ\mathrm C flui por 30 tubos de cobre (diâmetro externo d_o=28{,}6\\ \mathrm{mm}, espessura 0{,}9\\ \mathrm{mm}, comprimento L=3\\ \mathrm m) com vazão mássica \dot m_w=17\\ \mathrm{kg/s} e calor específico c_{p,w}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Ar a \,20^\circ\mathrm C atravessa perpendicularmente a matriz com \dot m_a=25\\ \mathrm{kg/s} e c_{p,a}=1007\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Os coeficientes de convecção são h_w=7200\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} e h_a=110\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O conteúdo aqui é método NTU-eficácia para permutador em escoamento cruzado com ambos os fluidos “não misturados”. Vamos calcular a temperatura de saída da água.

Passo 2

Calculamos as áreas interna e externa totais dos tubos:
diâmetro interno d_i=d_o-2\times0{,}9\\ \mathrm{mm}=28{,}6-1{,}8=26{,}8\\ \mathrm{mm}=0{,}0268\\ \mathrm m.
Área interna:
A_i = N\pi d_i L = 30\pi\,(0{,}0268)\,(3)=7{,}576\\ \mathrm m^2.
Área externa:
A_o = N\pi d_o L = 30\pi\,(0{,}0286)\,(3)=8{,}085\\ \mathrm m^2.

Passo 3

Negligenciando a resistência do tubo, a condutância térmica global é
U A = \left(\frac1{h_w A_i} + \frac1{h_a A_o}\right)^{-1}.
Substituindo
h_w A_i = 7200\times7{,}576 = 5{,}4548\times10^4,\quad h_a A_o = 110\times8{,}085 = 8{,}8935\times10^2,
U A = \bigl(\tfrac1{5{,}4548\times10^4}+\tfrac1{8{,}8935\times10^2}\bigr)^{-1} \approx875\\ \mathrm{W/K}.
As taxas de capacidade térmica são
C_w = \dot m_w c_{p,w}=17\times4180=7{,}106\times10^4\\ \mathrm{W/K},
C_a = \dot m_a c_{p,a}=25\times1007=2{,}5175\times10^4\\ \mathrm{W/K}.
Temos C_{\min}=C_a, C_r=C_{\min}/C_{\max}=0{,}3546 e
\mathrm{NTU} = \frac{UA}{C_{\min}} = \frac{875}{2{,}5175\times10^4}=0{,}0348.

Passo 4

Para permutador em escoamento cruzado com ambos não misturados a eficácia é dada por
\varepsilon = 1 - \exp\!\Bigl[-\frac{\mathrm{NTU}^{0.22}}{C_r}\bigl(e^{-C_r\,\mathrm{NTU}^{0.78}}-1\bigr)\Bigr].
Calculando
\mathrm{NTU}^{0.78}\approx0{,}0727,\quad e^{-C_r\,\mathrm{NTU}^{0.78}}\approx0{,}9745,
\mathrm{NTU}^{0.22}\approx0{,}4777,\quad \frac{\mathrm{NTU}^{0.22}}{C_r}\bigl(e^{-C_r\,\mathrm{NTU}^{0.78}}-1\bigr)\approx -0{,}0343,
\varepsilon = 1 - e^{-(-0{,}0343)} = 1 - e^{0.0343}\approx0{,}0338.

Passo 5

O calor transferido é
Q = \varepsilon\,C_{\min}\,(T_{w,\mathrm{in}} - T_{a,\mathrm{in}}) =0{,}0338\times2{,}5175\times10^4\times(100-20) \approx6,88\times10^4\\ \mathrm W.
A temperatura de saída da água é
T_{w,\mathrm{out}} = T_{w,\mathrm{in}} - \frac{Q}{C_w} =100 - \frac{6,88\times10^4}{7,106\times10^4} \approx99{,}0^\circ\mathrm C.

Passo 6

Fisicamente, colocar aletas de alumínio na parte externa aumenta muito a área de superfície exposta ao ar, reduzindo a resistência convectiva desse lado e aumentando UA. Com área total de tubos + aletas igual a 81\\ \mathrm m^2, a nova condutância global é
U A_{\text{fin}} = \Bigl(\tfrac1{h_w A_i} + \tfrac1{h_a\,(81)}\Bigr)^{-1}.

Passo 7

Calculando
h_a A_{\text{fin}} = 110\times81 =8{,}910\\ \mathrm W/K,
UA_{\text{fin}} = \bigl(\tfrac1{5{,}4548\times10^4} + \tfrac1{8{,}910}\bigr)^{-1} \approx7{,}679\\ \mathrm W/K,
\mathrm{NTU}_{\text{fin}} = \frac{7{,}679}{2{,}5175\times10^4}=0{,}305,\quad C_r=0{,}3546.
Reaplicando a fórmula de eficácia dá \varepsilon_{\text{fin}}\approx0{,}248,
Q_{\text{fin}}=\varepsilon_{\text{fin}}\,C_{\min}\,(100-20)\approx4,98\times10^5\\ \mathrm W,
T_{w,\mathrm{out,fin}} =100 - \frac{4,98\times10^5}{7,106\times10^4} \approx93{,}0^\circ\mathrm C.

Resposta

Temperatura de saída da água sem aletas: aproximadamente 99{,}0^\circ\mathrm C.
Com aletas (área total 81\\ \mathrm m^2): aproximadamente 93{,}0^\circ\mathrm C.

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