Um sistema de duas fendas com separação entre centros de 150 \mu \mathrm{~m} e largura de 30 \mu \mathrm{~m} é iluminado com luz de 600 nm . Qual é o ângulo (em graus) correspondente ao \mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} máximo principal de interferência?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica:
  • Separação entre centros das fendas: d=150\\ \mu\text{m}.
  • Largura de cada fenda: a=30\\ \mu\text{m}.
  • Comprimento de onda da luz: \lambda=600\\ \text{nm}.
  • Pergunta: qual o ângulo (em graus) correspondente ao 2^{\circ} máximo principal de interferência?
Esses são todos os dados fornecidos. A partir daqui vamos aplicar as condições que definem os máximos de interferência e checar se esse máximo não é anulado pelo envelope de difração da fenda.

Passo 2

Condição para máximos de interferência (explicação didática):
Quando duas fendas estão separadas por d, a diferença de caminho ótico entre ondas que chegam num ponto de ângulo \theta é aproximadamente d\sin\theta. Os máximos construtivos de interferência ocorrem quando essa diferença de caminho é um múltiplo inteiro do comprimento de onda. Em fórmula:
d\sin\theta = m\lambda,
onde
  • d é a separação entre centros das fendas (m),
  • \theta é o ângulo de observação medido a partir da normal (rad ou °),
  • m é a ordem do máximo de interferência ( m=0,\pm1,\pm2,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda (m).
Para o “2º máximo principal” tomamos m=2. Agora vamos usar essa fórmula para achar \theta.

Passo 3

Aplicando a fórmula para m=2 e isolando \sin\theta:
\sin\theta = \frac{m\lambda}{d} = \frac{2\lambda}{d}.
Substituindo os valores (convertendo tudo para metros):
\lambda = 600\\ \text{nm} = 600\times10^{-9}\\ \text{m}, \qquad d = 150\\ \mu\text{m} = 150\times10^{-6}\\ \text{m}.
Logo
\sin\theta = \frac{2\cdot(600\times10^{-9})}{150\times10^{-6}}.

Passo 4

Fazendo as contas passo a passo:
\sin\theta = \frac{1200\times10^{-9}}{150\times10^{-6}} = \frac{1200}{150}\times10^{-9+6} = 8\times10^{-3}.
Portanto
\sin\theta = 0,008.
Agora obtemos \theta tomando arco-seno. Para ângulos pequenos \sin\theta\approx\theta em radianos, então \theta em radianos é aproximadamente 0,008. Convertendo para graus:
\theta \approx 0,008\\ \text{rad}\times\frac{180}{\pi} \approx 0,008\cdot57{,}2958\approx 0,458^\circ.

Passo 5

Cheque rápido com o envelope de difração da fenda (explicação didática):
A difração de cada fenda tem mínimos dados por
a\sin\theta = m'\lambda,\quad m'= \pm1,\pm2,\dots
O primeiro mínimo (m’=1) ocorre em
\sin\theta_{\text{min}} = \frac{\lambda}{a} = \frac{600\times10^{-9}}{30\times10^{-6}} = 0,02,
o que dá \theta_{\text{min}}\approx 1{,}146^\circ. Como o ângulo do m=2 é \approx 0,458^\circ, ele está bem dentro do lóbo central da difração (não é anulado). Então o máximo de interferência de m=2 realmente aparece.

Passo 6

Resumo final e incentivo: encontramos o ângulo aplicando a condição d\sin\theta=m\lambda com m=2 e verificamos que esse máximo não é bloqueado pela difração da fenda. Ótimo trabalho — já sabe aplicar a fórmula e checar o envelope!

Resposta

0,458^\circ

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