Questão 2. (3,0 pontos) Encontre a solução geral para as Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:
d yd x=x-yx-y^2

Passo 1

Neste exercício vamos achar a solução geral da EDO de primeira ordem
dydx=x-yx-y^2
O assunto principal aqui é reconhecer que essa equação pode ser tratada como uma equação exata e usar a ideia de função potencial Phi(x,y).

Passo 2

Reescrevendo a EDO na forma diferencial:
(x-y^2),dy-(x-y),dx=0,
identificamos
M(x,y)=y-x, N(x,y)=x-y^2
Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
partial Mpartial y=1,partial Npartial x=1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a função potencial Phi(x,y) tal que
partialPhipartial x=M(x,y)=y-x,
integr vemos em relação a x:
Phi(x,y)=integral(y-x),dx=xy-x^22+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora exigimos
partialPhipartial y=x+h'(y)=N(x,y)=x-y^2
Isto leva a
h'(y)=-y^2Longrightarrow h(y)=-y^33
Logo,
Phi(x,y)=xy-x^22-y^33

Passo 5

A condição geral da solução implícita vem de
Phi(x,y)=C,
com C constante arbitrária. Assim, a família de curvas solução está dada por
xy-x^22-y^33=C

Resposta

xy-x^22-y^33=C

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