Some as séries:
Passo 1
O enunciado pede para somar a série infinita
Lista do que o enunciado dá:
- Os termos iniciais são
. - A pergunta é: qual é a soma infinita dessa série (se ela convergir)?
Passo 2
Reconhecer o tipo de série observando os termos. Vou calcular a razão entre termos consecutivos:
Como a razão entre termos consecutivos é sempre
, a série é uma série geométrica infinita com primeiro termo
e razão
Passo 3
Relembrando a fórmula da soma parcial de uma progressão geométrica. Se
é a soma dos primeiros
termos de uma PG de primeiro termo
e razão
, então vale a identidade (provada a seguir):
Multiplicando por
e subtraindo obtém-se
logo
Explicação curta da derivação: escrevendo
e
e subtraindo elimina-se quase todos os termos em cascata, sobrando
.
Passo 4
Passando da soma parcial para a soma infinita: se
então
e a soma infinita converge para
No nosso caso,
e
, portanto a soma infinita existe e é dada por essa fórmula.
Passo 5
Aplicar a fórmula com
e
:
Cálculo detalhado:
, então
.
Passo 6
Resumo prático (dica para a prova): ao ver termos como
tente imediatamente dividir termos consecutivos para checar se é geométrica. Se for e a razão tiver módulo menor que 1, use
.