Some as séries:
1+\frac{6}{7}+\frac{36}{49}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para somar a série infinita
1+\frac{6}{7}+\frac{36}{49}+\cdots.
Lista do que o enunciado dá:
  • Os termos iniciais são \,1,\;\dfrac{6}{7},\;\dfrac{36}{49},\dots.
  • A pergunta é: qual é a soma infinita dessa série (se ela convergir)?

Passo 2

Reconhecer o tipo de série observando os termos. Vou calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{\frac{6}{7}}{1}=\frac{6}{7}, \qquad \frac{\frac{36}{49}}{\frac{6}{7}}=\frac{36}{49}\cdot\frac{7}{6}=\frac{6}{7}.
Como a razão entre termos consecutivos é sempre \dfrac{6}{7}, a série é uma série geométrica infinita com primeiro termo
a=1
e razão
r=\frac{6}{7}.

Passo 3

Relembrando a fórmula da soma parcial de uma progressão geométrica. Se S_n é a soma dos primeiros n termos de uma PG de primeiro termo a e razão r, então vale a identidade (provada a seguir):
S_n=a+a r+a r^2+\cdots+a r^{n-1}.
Multiplicando por r e subtraindo obtém-se
(1-r)S_n=a(1-r^n),
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S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\qquad(\text{para }r\neq1).
Explicação curta da derivação: escrevendo S_n e rS_n e subtraindo elimina-se quase todos os termos em cascata, sobrando S_n-rS_n=a-a r^n.

Passo 4

Passando da soma parcial para a soma infinita: se |r|<1 então \lim_{n\to\infty}r^n=0 e a soma infinita converge para
S=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a}{1-r}.
No nosso caso, r=\dfrac{6}{7} e |r|=\dfrac{6}{7}<1, portanto a soma infinita existe e é dada por essa fórmula.

Passo 5

Aplicar a fórmula com a=1 e r=\dfrac{6}{7}:
S=\frac{1}{1-\tfrac{6}{7}}=\frac{1}{\tfrac{1}{7}}=7.
Cálculo detalhado: 1-\dfrac{6}{7}=\dfrac{1}{7}, então 1/(\tfrac{1}{7})=7.

Passo 6

Resumo prático (dica para a prova): ao ver termos como 1,\;\dfrac{6}{7},\;\dfrac{36}{49},\dots tente imediatamente dividir termos consecutivos para checar se é geométrica. Se for e a razão tiver módulo menor que 1, use S=\dfrac{a}{1-r}.

Resposta

7

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