Questão 3 (2,5 pontos)
Resolva a equação diferencial dada (não use transformadas de Laplace)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de ordem três
Sem usar transformada de Laplace, vamos aplicar o método dos coeficientes a determinar, que envolve dois estágios: primeiro obter a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
As raízes são
,
e
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Procuramos uma solução particular
para o termo
. Note que
e
já aparecem em
, há ressonância, então multiplicamos a hipótese por
. Seja
Calculamos
em cada parte e somamos:
para obtém-se
para obtém-se
Logo
para
para
Logo
Queremos
, daí
Logo
Passo 4
Procuramos agora
para o termo
. Como
não é raiz da característica, assumimos
Calculando
:
Queremos
, isto é
Logo
Passo 5
A solução particular total é
Portanto, a solução geral da equação é