Questão 3 (2,5 pontos)
Resolva a equação diferencial dada (não use transformadas de Laplace)
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=\sin (x)+\cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de ordem três
y'''+y'=\sin(x)+\cos(2x)
Sem usar transformada de Laplace, vamos aplicar o método dos coeficientes a determinar, que envolve dois estágios: primeiro obter a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Equação homogênea associada:
y'''+y'=0.
Formamos a equação característica
r^3+r=0\quad\Longrightarrow\quad r(r^2+1)=0
As raízes são r=0, r=i e r=-i. Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 + C_2\cos(x) + C_3\sin(x),
onde C_1, C_2 e C_3 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_{p1} para o termo \sin(x). Note que \sin(x) e \cos(x) já aparecem em y_h, há ressonância, então multiplicamos a hipótese por x. Seja
y_{p1} = A\,x\cos(x) + B\,x\sin(x).
Calculamos L[y]=y'''+y' em cada parte e somamos:
para x\cos(x) obtém-se L[x\cos(x)]=-2\cos(x)
para x\sin(x) obtém-se L[x\sin(x)]=-\,\sin(x)
Logo
L[y_{p1}] = A\bigl(-2\cos(x)\bigr) + B\bigl(-\sin(x)\bigr) = -2A\cos(x)-B\sin(x).
Queremos L[y_{p1}]=\sin(x), daí
-2A=0\quad\Rightarrow\quad A=0, \qquad -B=1\quad\Rightarrow\quad B=-1.
Logo
y_{p1} = -\,x\sin(x).

Passo 4

Procuramos agora y_{p2} para o termo \cos(2x). Como 2 não é raiz da característica, assumimos
y_{p2} = C\cos(2x)+D\sin(2x).
Calculando L[y_{p2}]:
y_{p2}'=-2C\sin(2x)+2D\cos(2x),
y_{p2}'''=8C\sin(2x)-8D\cos(2x),
L[y_{p2}]=y_{p2}'''+y_{p2}' =(8C-2C)\sin(2x)+(-8D+2D)\cos(2x) =6C\sin(2x)-6D\cos(2x).
Queremos L[y_{p2}]=\cos(2x), isto é
6C=0\quad\Rightarrow\quad C=0, \qquad -6D=1\quad\Rightarrow\quad D=-\tfrac16.
Logo
y_{p2} = -\tfrac16\,\sin(2x).

Passo 5

A solução particular total é
y_p = y_{p1}+y_{p2} = -\,x\sin(x)\;-\;\tfrac16\,\sin(2x).
Portanto, a solução geral da equação é
y(x) = y_h + y_p = C_1 + C_2\cos(x) + C_3\sin(x)\;-\;x\sin(x)\;-\;\tfrac16\,\sin(2x).

Resposta

y(x) = C_1 + C_2\cos(x) + C_3\sin(x)\;-\;x\sin(x)\;-\;\tfrac16\,\sin(2x).

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