Questão 1 (2,5 ponto ) determine a Transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases}0 & \text { se } t<2 \\\ t & \text { se } t \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)= \begin{cases} 0, & t<2,\\\ t, & t\ge2. \end{cases}
O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt,
e vamos usá-la diretamente, aproveitando que f(t)=0 para t<2.

Passo 2

Pela definição temos
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt =\int_{2}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt,
pois para 0\le t<2 o integrando é zero.

Passo 3

Para calcular
\int_{2}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt
faremos integração por partes. Escolhemos
u=t,\quad dv=e^{-st}dt
de modo que
du=dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.

Passo 4

Aplicando integração por partes:
\int_{2}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt =\Bigl[u\,v\Bigr]_{2}^{\infty} -\int_{2}^{\infty}v\,du =\Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{2}^{\infty} +\frac{1}{s}\int_{2}^{\infty}e^{-st}\,dt.
Na fronteira infinita temos \lim_{t\to\infty}t\,e^{-st}=0, logo
\Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{2}^{\infty} =0-\Bigl(-\frac{2}{s}e^{-2s}\Bigr) =\frac{2}{s}e^{-2s}.

Passo 5

Falta a integral exponencial:
\int_{2}^{\infty}e^{-st}\,dt =\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{2}^{\infty} =0-\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-2s}\Bigr) =\frac{1}{s}e^{-2s}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{s} que ficou na frente dá
\frac{1}{s}\int_{2}^{\infty}e^{-st}dt =\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}e^{-2s} =\frac{1}{s^2}e^{-2s}.

Passo 6

Somando os dois resultados da integração por partes, obtemos
\int_{2}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt =\frac{2}{s}e^{-2s}+\frac{1}{s^2}e^{-2s} =e^{-2s}\Bigl(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr).
Portanto esta é a transformada de Laplace de f(t).

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =e^{-2s}\Bigl(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr).

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