Questão 1. (4.0 pontos) Resolva as equações diferenciais ordinárias dadas:
( 2.0 pontos) y^prime=y(1-y).

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
y' = y(1 - y)
Este é um caso clássico de equação de variáveis separáveis. Para solucioná-la, vamos:
  1. separar as variáveis y e x,
  2. usar frações parciais para integrar,
  3. isolar y e obter a solução geral.

Passo 2

Começamos escrevendo
dydx = y(1 - y)
e separando as variáveis:
dyy(1 - y) = dx
Agora usamos frações parciais em 1y(1-y):
1y(1 - y) = 1y + 11 - y
Logo a integral fica pronta para cálculo.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integrall(1y + 11 - yr),dy = integral dx
No lado esquerdo,
integral 1y,dy + integral 11 - y,dy = lnlvert yrvert - lnlvert 1 - yrvert,
e no direito
integral dx = x + C,
onde C é constante de integração. Portanto
lny1 - y = x + C

Passo 4

Elevando exponencial em ambos os lados, obtemos
y1 - y = e^x + C = K e^x,
com K = e^C. Agora isolamos y:
y = K e^x,(1 - y) Longrightarrow y,(1 + K e^x) = K e^x Longrightarrow y = K e^x1 + K e^x

Passo 5

Para simplificar, podemos chamar K de uma constante arbitrária (pode ser positiva ou negativa) e até reescrever
y(x) = 11 + A e^-x,
onde A = 1/K. Ambas as formas representam a solução geral da equação logística.

Resposta

y(x) = K e^x1 + K e^x,
ou equivalentemente
y(x) = 11 + A e^-x,
com K (ou A) constante arbitrária.

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