Questão 1. (4.0 pontos) Resolva as equações diferenciais ordinárias dadas:
( 2.0 pontos)
.
( 2.0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial
Este é um caso clássico de equação de variáveis separáveis. Para solucioná-la, vamos:
- separar as variáveis
e , - usar frações parciais para integrar,
- isolar
e obter a solução geral.
Passo 2
Começamos escrevendo
e separando as variáveis:
Agora usamos frações parciais em
:
Logo a integral fica pronta para cálculo.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo,
e no direito
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 4
Elevando exponencial em ambos os lados, obtemos
com
. Agora isolamos
:
Passo 5
Para simplificar, podemos chamar
de uma constante arbitrária (pode ser positiva ou negativa) e até reescrever
onde
. Ambas as formas representam a solução geral da equação logística.
Resposta
ou equivalentemente
com
(ou
) constante arbitrária.