Questão 2. (6.0 pontos)
( 3.0 pontos) Resolva o problema de valor inicial
r y^prime prime+y^prime-2 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y' - 2y = 0, y(0)=2, y'(0)=-1,
que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso vamos usar o método da equação característica, obter a solução geral e, em seguida, ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo ,y(x)=e^r x,. Substituindo na equação diferencial temos
r^2 e^r x + r e^r x - 2 e^r x = 0
e como e^r xneq0 para qualquer x, a parte relevante é a equação característica
r^2 + r - 2 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 + r - 2 = 0 Longrightarrow r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32,
resultando em
r1 = 1, r2 = -2

Passo 4

Com as raízes distintas r1 e r2, a solução geral da EDO é
y(x) = C1e^r1x + C2e^r2x = C1e^x + C2e^-2x
A derivada que vamos precisar é
y'(x) = C1e^x -2,C2e^-2x

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em
e de vem
Resolvendo o sistema
subtraindo a segunda da primeira obtemos e .

Passo 6

Substituindo C1=1 e C2=1 na solução geral, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = e^x + e^-2x

Resposta

y(x) = e^x + e^-2x

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