Questão 1. (4.0 pontos) Resolva as equações diferenciais ordinárias dadas:
(2.0 pontos) y^prime+2 t y=4 t e^-t^2;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem linear
y' + 2,t,y = 4,t,e^-t^2
O conteúdo usado será o método do fator integrante, que consiste em encontrar uma função mu(t) tal que, multiplicando toda a equação por mu(t), o lado esquerdo passe a ser a derivada de mu(t),y.

Passo 2

Para a equação
y' + 2,t,y = 4,t,e^-t^2
o fator integrante mu(t) satisfaz
mu(t) = e^integral 2,t,dt = e^t^2

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t)=e^t^2, obtemos
e^t^2y' + 2,t,e^t^2y = 4,t
e reconhecemos no lado esquerdo
ddtl(e^t^2yr) = e^t^2y' + 2,t,e^t^2y

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^t^2y = integral 4,t,dt = 2,t^2 + C
onde C é constante de integração. Finalmente, isolamos y:
y(t) = e^-t^2,l(2,t^2 + Cr)

Resposta

y(t) = e^-t^2,l(2,t^2 + Cr)

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