Questão 2 (1,5 pontos) Resolva as integrais abaixo:
integral d xx^2+2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais que utilizam frações parciais. Para resolver, a gente vai precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em termos mais simples para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos decompor a fração 1(x + 3)(x - 1) = Ax + 3 + Bx - 1 em frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes 1 = A(x - 1) + B(x + 3) e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Para encontrar 1 = A(1 - 1) + B(1 + 3) Rightarrow 1 = 0 + 4B Rightarrow B = 14 e 1 = A(-3 - 1) + B(-3 + 3) Rightarrow 1 = -4A + 0 Rightarrow A = -14 , escolhemos valores de 1(x + 3)(x - 1) = -14cdot1x + 3 + 14cdot1x - 1 que simplificam a equação.
Primeiro, se :
Segundo, se :
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral dxx^2 + 2x - 3 = integral ( -14cdot1x + 3 + 14cdot1x - 1 ) dx
Integrando cada parte:
= -14 ln|x + 3| + 14 ln|x - 1| + C

Resposta

integral dxx^2 + 2x - 3 = 14 ln|x - 1| - 14 ln|x + 3| + C

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