Questão 1 (1,5 pontos) Resolva os itens abaixo:
Encontre a área da região entre as curvas y=e^x e y=e^-x no intervalo x in[-1,1].

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a área entre as curvas e no intervalo de . Para isso, vamos usar o conceito de integrais, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo dado. Vamos avaliar as duas funções em um ponto, por exemplo, em y = e^0 = 1 e y = e^-0 = 1 :
Percebemos que ambas são iguais em .

Passo 3

Vamos verificar outro ponto, digamos y = e^1 approx 2,718 e y = e^-1 approx 0,368 :
y = e^-1 approx 0,368 e y = e^1 approx 2,718
Aqui, está acima de . Da mesma forma, para :
Portanto, está acima de em todo o intervalo .

Passo 4

Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da função de cima menos a função de baixo:
Área = integral-1^1 ( e^x - e^-x ) dx Á

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral ( e^x - e^-x ) dx = e^x + e^-x + C
Agora, aplicamos os limites de integração de Área = [ e^1 + e^-1 ] - [ e^-1 + e^1 ] = ( e + 1e ) - ( 1e + e ) = 0 a :
Á

Passo 6

Parece que houve um erro na avaliação. Vamos refazer a integral corretamente:
integral-1^1 e^x dx = e^x g|-1^1 = e^1 - e^-1
integral-1^1 e^-x dx = -e^-x g|-1^1 = -e^-1 + e^1
Área = ( e - 1e ) - ( -1e + e ) = e - 1e + 1e - e = 0 Á
Ainda não está correto. Vamos reconsiderar.

Passo 7

Na verdade, a área entre as curvas é a integral da diferença das funções onde uma está acima da outra. Mas como calculamos e deu zero, isso indica que as áreas se cancelam. Porém, como áreas são positivas, devemos calcular a área absoluta:
Área = 2 integral0^1 ( e^x - e^-x ) dx = 2 [ e^x + e^-x ]0^1 = 2 ( (e + 1e) - (1 + 1) ) = 2 ( e + 1e - 2 ) Á

Resposta

A área da região entre as curvas 2 ( e + 1e - 2 ) approx 2 ( 2,718 + 0,368 - 2 ) approx 2 times 1,086 approx 2,172 e no intervalo é:

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