Questão 1 (1,5 pontos) Resolva os itens abaixo:
Determine o volume gerado pela rotação da região delimitada por y=x^2 e y=2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas e gira em torno do eixo x. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos (ou anéis). Vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e montar a integral que representa esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram, ou seja, resolver x^2 = 2x x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 x = 0 ou x = 2 . Isso nos dá os pontos de interseção que vão determinar os limites de integração.
Então, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Para valores de y = x^2 = 1 y = 2x = 2 entre 0 e 2:
  • Quando :
    Então, está acima de nesse intervalo.
Isso significa que, ao girar em torno do eixo x, o raio externo será dado por e o raio interno por .

Passo 4

Utilizaremos o método dos discos, onde o volume V = pi integrala^b [ (f(x))^2 - (g(x))^2 ] dx é dado por:
Aqui, e , com e .

Passo 5

Substituindo na fórmula:
V = pi integral0^2 [ (2x)^2 - (x^2)^2 ] dx V = pi integral0^2 [ 4x^2 - x^4 ] dx

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral0^2 [ 4x^2 - x^4 ] dx = integral0^2 4x^2 dx - integral0^2 x^4 dx = 4 [ x^33 ]0^2 - [ x^55 ]0^2 = 4 ( 83 - 0 ) - ( 325 - 0 ) = 323 - 325 = 160 - 9615 = 6415

Resposta

Portanto, o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas V = 6415 pi , unidades cúbicas e em torno do eixo x é:
ú

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