Questão 1 (1,5 pontos) Resolva os itens abaixo:
Determine o volume gerado pela rotação da região delimitada por
e
.
Determine o volume gerado pela rotação da região delimitada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas
e
gira em torno do eixo x. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos (ou anéis). Vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e montar a integral que representa esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram, ou seja, resolver
. Isso nos dá os pontos de interseção que vão determinar os limites de integração.
Então, as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Para valores de
entre 0 e 2:
-
Quando
: Então,está acima de nesse intervalo.
Isso significa que, ao girar em torno do eixo x, o raio externo será dado por
e o raio interno por
.
Passo 4
Utilizaremos o método dos discos, onde o volume
é dado por:
Aqui,
e
, com
e
.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Resposta
Portanto, o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo x é: