Questão 2 (1,5 pontos) Resolva as integrais abaixo:
integral x raizx^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais que envolvem funções polinomiais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição, que nos ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável nova (vamos chamar de u = x^2 - 1 ). Olhando para a nossa integral, percebemos que o que está dentro da raiz quadrada, , pode ser uma boa candidata para .
Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x implies du = 2x , dx em relação a para substituir na integral. Derivando temos:

Passo 4

Vamos resolver para du = 2x , dx implies x , dx = du2 :

Passo 5

Substituímos integral x raizx^2-1 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral raizu , du e na integral original:

Passo 6

Agora, a integral está mais simples. Vamos resolver integral u^1/2 , du = u^3/2 32 = 23 u^3/2 . Lembrando que , a antiderivada é:

Passo 7

Voltamos à nossa integral:
12 integral raizu , du = 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2

Passo 8

Finalmente, substituímos 13 u^3/2 = 13 (x^2 - 1)^3/2 + C de volta para termos em :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 13 (x^2 - 1)^3/2 + C é igual a:

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