Questão 5 (2,5 pontos)
Resolva pelo método dos coeficientes a determinar (encontre a solução geral) a EDOLÑH
y^prime prime-8 y^prime+12 y=1+3 x+4 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 8y' + 12y = 1 + 3x + 4e^2x
O conteúdo aqui é solução geral de EDOLCH (equação diferencial ordinária linear de coeficientes constantes): primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para o termo não homogêneo usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 8y' + 12y = 0
Escrevemos o polinômio característico
r^2 - 8r +12 = 0
que fatoriza em (r-2)(r-6)=0. Logo as raízes são r=2 e r=6. Assim a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^2x + C2 e^6x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp1 para o termo polinomial 1+3x. Como r=0 não é raiz do característico, tentamos
yp1 = a x + b
Então
yp1' = a, yp1'' = 0
Substituindo em y'' -8y' +12y =1+3x
0 - 8a + 12(ax + b) = 3x + 1
12a,x + (-8a+12b) = 3x + 1
Comparando coeficientes de x e constantes:
12a = 3 implies a = tfrac14, -8a + 12b = 1 implies -2 +12b =1 implies b = tfrac14
Então
yp1 = tfrac14 x + tfrac14

Passo 4

Para o termo 4e^2x, como r=2 é raiz simples do característico, multiplicamos a tentativa usual por x. Logo tentamos
yp2 = C,x,e^2x
Calculamos
yp2' = C,e^2x(1+2x), yp2'' = C,e^2x(4x+4)
Substituindo em y'' -8y' +12y = 4e^2x:
C,e^2x(4x+4) -8,C,e^2x(1+2x) +12,C,x,e^2x = -4C,e^2x stackrel!= 4e^2x
Logo -4C =4 e C = -1. Assim
yp2 = -,x,e^2x

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com as particulares:
y = yh + yp1 + yp2 = C1 e^2x + C2 e^6x + l(tfrac14 x + tfrac14r) - x,e^2x

Resposta

boxedy(x) = C1 e^2x + C2 e^6x + tfrac14 x + tfrac14 - x,e^2x

Exercícios relacionados